CSP2024-17

A

题意：一个人在原点，每一时刻可以向左或向右一格，或不动，现在要到达终点 \(m\)。

其中有 \(n\) 个关键坐标 \(x_i\)，每个关键点会在被第一次经过的 \(t\) 秒后产生一枚金币。

求收集完 \(n\) 枚金币到达 \(m\) 的最小时刻。\(n \le 10^6, 0 < x_1 < x_2 \cdots < x_n < m \le 10^9, t \le 10^9\)。

我们的决策肯定是一直往右走，到达某一个关键点立刻回头去捡之前产生的金币，一个点不会被两次回头遍历到，否则不优。

设 \(f_i\) 表示第一次达到 \(x_i\) 且 \(1 \sim i - 1\) 都收集完毕的最小时间。

肯定是第一次到达 \(i - 1\) 就立马往回跑到最左边没有收集的点 \(j\)，然后一路冲到 \(i\)。

要使 \(j\) 的金币被收集至少需要时间 \(t\)，而从 \(j\) 到 \(i - 1\) 再折返到 \(j\) 的时间是 \(2(x_{i - 1} - x_j)\)，所以要取 max：

\[ f_i = f_j + \max\big(t, 2(x_{i - 1} - x_j)\big) + x_i - x_j \]

把 max 拆开：

\[f_i = \begin{cases} (f_j - 3x_j) + (2x_{i - 1} + x_i) & 2x_j \le 2x_{i - 1} - t\\ \\ (f_j - x_j) + (x_i + t) & 2x_j \le 2x_{i - 1} - t\\ \end{cases} \]

两端都是连续区间，且分界点单调，单调队列维护最小值，时间复杂度 \(O(n)\)。submission

B

题意：给定初始串 \(s\)，最小化操作此时，使得 \(s\) 变成目标串 \(t\)。

其中，一次操作定义为：从前往后遍历 \(i\)，\(s^{\prime}_i = s_i\) 或 \(s^{\prime}_i = s^\prime_{i - 1}\)。\(n \le 10^6\)。

把上述操作展开到平面，实际是找初始位置 \(s_i = t_j\)，\(i \to j\) 的一条路径。

首先路径一定无交，不妨只关心 \(i\) 的目标区间左端点。

从后往前贪心，假设当前在一个左端点 \(t_i \ne t_{i - 1}\)，找到最大的 \(p\) 满足 \(s_p = t_j\land p \le j\)，且小于上一个匹配位置。

当前路径肯定是靠紧上一条路径最优，因此需要关心所有 $ \le i$ 的转折点（\(\downarrow\rightarrow\)）。

考虑更新当前路径后的转折点，首先所有 \(\le i\) 的转折点横坐标减一，纵坐标加一，可以设一个偏移量 \(d\) 解决。

如果 \(p\) 与上一个匹配位置不相邻且 \(p < i\)，则新增转折点 \((p, 1)\)。

假设 \((i, j)\) 是转折点，说明 \(t_i\) 一定不被当前 \(p\) 覆盖，一定有一条之后的路径经过该点上方。

答案是最大转折点纵坐标加一，考虑上述引理，必然有一段目标左端点到右端点的路径经过最高拐点。submission

C

题意：\(n\) 个点的有向图，给定 \(m\) 条边。重复进行感染操作：如果存在边 \(x \to y, y \to z\)，则连边 \(z \to x\)。

允许自环，求最终图中边数。\(n, m \le 10^6\)。

对原图进行三染色，红点连向蓝点，蓝点连向绿点，绿点连向红点。讨论每一个弱连通块：

如果染色失败（矛盾），设该弱连通图大小等于 \(k\)，那么他会被感染成一张完全图（双向边，包括自环），贡献 \(k^2\) 条边。

如果染色成功且不包含所有颜色，不会发生感染操作。

如果染色成功且包含所有颜色，最后所有对应点都有连边，总边数等于 \(cnt_r \times cnt_b + cnt_b \times cnt_g + cnt_g \times cnt_r\)。

性质1：完全图具有感染性。

点 \(x\) 向 \(K_n\) 随便连一条有向边，则该点会和所有点连一条双向边，并形成自环，即 \(K_{n + 1}\)。

假设存在边 \(x \to y\)，则可以通过 \(y\) 的自环形成 \(y \to x\)，进而形成 \(x\) 的自环，剩下的易证。

性质2：四元环（有向：\(1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1\)）能生成 \(K_2\)，最终演化成 \(K_4\)。

性质3：五元环能生成 \(K_2\)，最终演化成 \(K_5\)。

性质5：\(n\) 元环（\(n \ge 7 \land 3 \nmid n\)）先生成 \(5 \to 3, 3 \to 1\)，再生成 \(1 \to 5\)，即 \(n - 3\) 元环，进而生成四/五元环，最终生成 \(K_n\)。

一个弱连通分量染色失败当且仅当出现一个不被三整除的环，即会被感染成完全图。

性质6：称一个弱连通分量全连接当且仅当对应颜色的点对都存在一条边。三元链能转化为三元环，三元环是全连接的。

性质7：全连接局面加入一个点和连入的一条边，必然还是全连接局面。

假设加入的是红点，一定是连向一个蓝点，该蓝点可以连向所有绿点，因此所有绿点可以连向新点。

同理，连向新点的一个绿点能被所有蓝点到达，因此新点可以连向所有蓝点。

如果染色成功且存在三种颜色，必然能生成一个三元环，结论成立。submission

D