20240904：字符串选做

P4555 [国家集训队] 最长双回文串#

题意：给定字符串 $s$，找到他最长双回文串 $t$ 的长度。双回文串定义为存在一个 $i>1$ 使得 $t[1,i)$ 和 $t[i,n]$ 都是回文串。$|s|\le {10}^5$。

二分哈希求出所有回文中心的半径，设以 $i$ 为中心的最长回文串为 $[l_i,r_i]$。

我们发现当两个回文中心确定时，最长双回文串的长度唯一确定（左边界向左延伸一格必须先使右边界往里缩一格，否则左右两串出现重叠）。

枚举回文中心 $i$，找到一个最小的 $j$ 使得 $r_j\ge l_i-1$，显然可以树状数组维护，在 $r_i$ 的位置加入 $i$。submission

P3546 [POI2012] PRE-Prefixuffix#

题意：定义 $s$ 和 $t$ 是循环相同的，当且仅当 $s$ 能够将一个后缀移到开头使得与 $t$ 完全相同。

给出字符串 $s$，找到最大的 $i\le \frac{n}{2}$ 使得前缀 $pr{e}_i$ 和后缀 $su{f}_i$ 是循环相同的。

枚举 $s$ 的 border $i$，再找 $s[i+1,n-i]$ 的最长不重叠 border，令 $s_i=s[i+1,n-i]$，发现把 $s_i$ 的 border 掐头去尾就是 $s_{i+1}$ 的 border。

反过来讲，有 $B_{max}(s_i)\le B_{max}(s_{i+1})+2$，设 $p=B_{max}(s_i)$，当 $i\to i-1$ 时，令 $p\to p+2$，然后不断减 $1$ 直到合法，势能分析可以得出是线性的。

submission

更加巧妙的做法：把 $s$ 重排成 $s_1{s}_n{s}_2{s}_{n-1}\cdots$，那么两个 border 就是最靠前的两个相邻回文串（长度皆为偶数），和上题一样维护。

Minimal String Xoration#

题意：给定一个长度为 $2^n$ 的字符串 $s$，选出一个 $k\in [0,2^n)$ 使得满足 $t_i=s_{i\oplus k}$ 的字符串 $t$ 的字典序最小，输出 $t$。$n\le 18$。

$f(k,i)$ 表示选了 $k$ 得到字典序最小的 $t$ 的 $2^i$ 的前缀，显然有 $f(k,i)=f(k,i-1)+f(k\oplus 2^{i-1},i-1)$，+ 表示拼接。

类似后缀数组 $O(n\log n)$ 构造，求出 $f(k,i-1)$ 和 $f(k\oplus 2^{i-1},i-1)$ 在 $i-1$ 时的排名就可以当做两位数排序。

时间复杂度 $O(n^2{2}^n)$，基数排序可以省掉一个 $n$。submission

x-prime Substrings#

题意：定义只有数字组成的字符串 $s$ 是 x-prime 的当且仅当 $\sum s_i=x$ 且不存在一个子串和是 $x$ 的真因子（不是他本身）。

给定字符串 $s$ 和正整数 $x$，求 $s$ 至少要删掉多少字符才不存在一个子串是 x-prime 的。$|s|\le 1000,x\le 20$。

注意到 $x$ 很小，满足 x-prime 的字符串应当也很少，称之为非法子串。

删多少字符才能不存在非法子串的这类问题很容易想到构造 ac 自动机，最坏情况下，所有非法串构成的字典树大小只有 $S=4853$。

$f(i,s)$ 表示前 $i$ 个字符匹配到 ac 自动机的状态 s 时需要删多少个才合法，枚举 $i$ 删不删，时间复杂度 $O(|s|S)$。submission

P7361 「JZOI-1」拜神#

题意：给定字符串 $s$，$q$ 次询问 $s[l,r]$ 出现至少两次的最长子串长度。$n\le 5\times {10}^4,q\le {10}^5$。

考虑询问的本质，长度 $L$ 合法等价于存在 $i,j\in [l,r-L+1]$ 满足 $\text{lcp}(su{f}_i,su{f}_j)\ge L$，可以二分。

后缀排序求出 height 数组，$h_i=\text{lcp}(su{f}_{s{a}_i},su{f}_{s{a}_{i-1}})$，考虑 $su{f}_{s{a}_i}$ 与 $su{f}_{s{a}_{i-1}}$ 连边，那么 $L$ 合法就是加入所有 $h\ge L$ 之后 $i,j$ 在同一连通块。

维护 $nx{t}_i$ 表示与 $i$ 在同一连通块的大于 $i$ 的最小后缀编号，这个东西可以并查集的启发式合并实现，每个连通块开个 set 维护所有编号。

那么长度 $L$ 到底怎么判断呢？区间查询 $[l,r-L]$ 当中最小的 $nx{t}_i$ 是否 $\le r-L+1$，显然可以线段树。

你当然可以离线。也可以维护持久化线段树 $T_i$ 表示加入所有 $h\ge i$ 后 $1\sim n$ 的 $nxt$ 值，时空复杂度皆为 $O(n{\log }^{2}n)$。submission

REPEATS - Repeats#

题意：求连续出现次数最多的重复子串的连续出现次数，多测。$T\le 20,n\le 50000$。

枚举重复子串长度 $L$，每隔 $L$ 放置一个关键点 $L,2L,3L\cdots$（1-base）。

如果一个子串是 k-repeat 的，那么他一定恰好覆盖 $k$ 个关键点。 这个 $k$ 显然是可以二分的，考虑怎么 check。

单调队列维护长度为 $k$ 的窗口内关键点所代表后缀以及前缀的排名，方便通过正串和反串的后缀数组求出 LCP 和 LCS（suffix）。

出现 (k, L) - repeat 当且仅当 $tor+tol-1\ge L$，其中 $tor$ 表示当前窗口内关键点表示后缀的 LCP。

枚举 $L$ 填关键点是一个调和级数，直接做是双 log 的。

考虑一个关键点区间 $p_l,p_{l+1}\cdots p_r$，如果 $tor+tol-1$ 不小于 $L$，则称 $[l,r]$ 是优秀的。显然如果 $[l,r]$ 是优秀的，任意其子区间也是优秀的。

设 $[l,r]$ 为右段点是 $r$ 是的极大优秀区间，如果 $[l-1,r+1]$ 优秀则 $[l-1,r]$ 优秀，与 $l$ 是极小左端点矛盾。因此 $r\to r+1$ 时左端点单调不降。

双指针代替二分，时间复杂度 $O(n\ln n)$。submission

P5115 Check,Check,Check one two!#

题意：给定字符串 $s$ 以及正整数 $k_1,k_2$，求：

$$\sum _{i<j}[\text{lcp}(i,j)\le k_1][\text{lcs}(i,j)\le k_2]\text{lcp}(i,j)\text{lcs}(i,j)$$

数据范围：$k_1,k_2\le n\le {10}^5$。

由于 $(i,j)$ 对于 lcp 和 lcs 都是相同的，我们把他们接在一起，统计 $i-\text{lcs}+1$ 处的 lcp。

如果 $\text{lcp}(i,j)=L\wedge s_{i-1}\ne s_{j-1}$，那么他对答案有 $F(L)$ 的贡献，其中：

$$F(L)=\sum _{p=1}^L[p\le k_1][L-p+1\le k_2]p(L-p+1)$$

可以 $O(n)$ 预处理。

考虑 $s_{i-1}\ne s_{j-1}$ 的限制，否则相同子串不是极长。正难则反，容斥减掉 $s_{i-1}=s_{j-1}=a\sim z$ 的情况。

问题转化为与 $(i,j)$ 的 lcp 相关的一个式子，根据 sa 的经典套路，在 height 数组上单调栈维护 $\sum _{j<i}[s_{s{a}_j-1}=ch]F(\underset{j+1}{\overset{i}{min}}h)$。submission

P8147 [JRKSJ R4] Salieri#

题意：给定 $n$ 个串 $s_i$ 以及其权值 $v_i$，$q$ 次询问，每次给出一个文本串 $t$，设 $cn{t}_i$ 表示 $s_i$ 在 $t$ 中的出现次数，求 $cn{t}_i\times v_i$ 的第 $k$ 大值。

数据范围：$\sum |s|\le 5\times {10}^5,n,m\le {10}^5,k\le n$。

把文本串放在原串 ac 自动机上跑，走到一个状态则将其 tag 加一，最终 $cn{t}_i$ 等于 $s_i$ 的终止节点所表示状态在失配树上的子树和。

考虑对所有走过的状态建出虚树，由于一共只走 $|t|$ 步，虚树规模也是 $O(|t|)$ 的。

不难发现 $x$ 与其虚树上的父亲 $fa$ （不含）之间路径的 $cnt$ 都是一样的，也就是说，我们把整棵失配树划分为 $O(|t|)$ 条 $cnt$ 相同的链。

二分答案 $mid$，问题转化为有多少结束状态满足 $v_i\ge {\displaystyle \frac{mid}{cn{t}_i}}$（$cnt=0$ 趋向正无穷，忽略），树上主席树实现，时间复杂度 $O(\sum |t|\log \sum |s_i|\log V)$。

submission

String Journey#

题意：给定字符串 $s$，找到最大无交子串集 $T$ 的大小，满足 $t_i$ 是 $t_{i-1}$ 的真子串（非本身）。

首先，将字符串翻转，限制转化为 $t_{i-1}$ 是 $t_i$ 的真子集。

观察1：如果大小 $k$ 合法，一定存在一组方案解使得 $\mathrm{\forall }|t_i|=i$。

由于是真子串，显然有 $|t_i|\ge i$。考虑找到第一个长度大于 $i$ 的位置，删掉前后缀使之成为 $i$，不会影响整个方案的合法性。

设 $f_i=k$ 表示长度为 $i$ 的前缀，强制使 $s_i$ 等于 $t_k$ 的结尾的最大合法长度。

观察2：$(i-1)-f_{i-1}+1\le i-f_i+1$。

对于任意 $i$ 的方案，删掉 $t_1$ ，删掉 $t_{i>1}$ 最后一个字符，能够得到一组 $i-1$ 的长度为 $k-1$ 的方案。即 $f_i-1\le f_{i-1}$，与结论等价。

令 $l=r-f_r+1$，即前缀 $r$ 最优方案 $t_k$ 的左端点。

我们称 $[l,r]$ 合法，当且仅当他是 $r$ 一组方案的 $t_k$，注意这里的方案需要满足 $|t_i|=i$，不难发现若 $[l,r]$ 合法，则所有 $[l,r]$ 的后缀合法。

根据观察2可知，随着 $r$ 的增大，$l$ 单调不降。考虑从 $[l,r-1]$ 到 $[l,r]$：

$[l,r]$ 合法当且仅当存在一个合法串 $[l^{\prime },r^{\prime }]$ 满足 $r^{\prime }<l$ 且与 $[l+1,r]$ 和 $[l,r-1]$ 之一相同。

考虑在 SAM 上对于每个状态 $p$ 维护该状态所有右端点小于 $l$ 的合法串的最大长度 $g_p$。

那么 $[l,r]$ 合法等价于 $[l+1,r]$ 和 $[l,r-1]$ 对应的状态中 $g_p$ 的最大值大于等于 $r-l$，如果合法则跳过。

否则 $l\to l+1$，此时需要更新所有右端点等于 $l$ 的合法字符串，其中左端点范围是确定的 $[l-f_l+1,l]$。

设 $p$ 表示 $[l-f_l+1,l]$ 的状态，现将 $g_p$ 与 $f_l$ 取 max，然后往上跳 $p$ 的祖先，如果 $g_p$ 已经是 $L(p)$ 了，不需要再往上跳；否则 $g_p\leftarrow L(p)$。

时间复杂度均摊 $O(n)$。（一共就 $O(n)$ 个状态，每个状态被更新至多 $2$ 次）submission

Everybody Lost Somebody#

题意：

Speckled Band#