【MX-S3】梦熊周赛 · 提高组 3 & FeOI Round 1

野心#

题意：

给定长度为 $n<2\times {10}^6$ 的排列 $a$。

求有多少个 $i<n$ 满足 $[1,i]$ 和 $[i+1,n]$ 排序后都是等差数列。

我们发现不存在合法的 $i\in [3,n-2]$ 使得 $[1,i]$ 的公差 $d\ge 3$。

假设 $[1,i]$ 构成 $1,1+d,1+2d\cdots$ 的等差序列。

后缀元素在前缀元素之间的差值为 $1$，跨过前缀元素的差值为 $2$，一定不合法。

需要考虑的合法情况只有：

• $[1,i]$ 中元素恰为值域上的一个前缀或后缀。
• 公差为 $2$。

如果 $i=2$ 或 $i=n-1$，构成 $[1,n][2,n-1]$ 也是合法的。

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Journey#

题意：
$\text{range}(a,b,c)$ 表示序列

$$[a,a+c,a+2c,\cdots ,a+kc]$$

其中 $k$ 是满足 $a+kc<b$ 的最大非负整数。

给定大小为 $n\le 2\times {10}^7$ 的数组 $g$，求

$$\sum _{a=1}^n\sum _{b=a+1}^{n+1}\sum _{c=1}^n\sum _{i\in \text{range}(a,b,c)}{g}_i$$

数据范围暗示很明显了，只放过线性做法。

每个 $g_i$ 会被 $a+kc=i$ 且 $b>i$ 的三元组贡献到。

设 $f(i)$ 表示 $a+kc=i$ 的 $(a,c)$ 对数

$$\begin{array}{rl}f(i)& =\sum _{a=1}^n\sum _{c=1}^n[a+kc=i]\\ \\ & =n+\sum _{a=1}^{i-1}d(i-a)\\ \\ & =n+\sum _{a=1}^{i-1}d(i)\end{array}$$

因此只要把 $d(i)$ 筛出来然后做一遍前缀和即可。

最后再乘上 $b$ 的 $n-i+1$ 种取值。

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再演#

初始集合只要记录操作然后从当前集合回退即可。

定义上数为一对数中较大的，同理定义下数。

返回的 $p$ 是所有上数中最小的。

$p$ 与 $1$ 交换，$1$ 与原来 $p$ 的下数 $q$ 组成 $(1,q)$。

由于 $p$ 已经是上数中最小的了，$q$ 比 $p$ 还小，因此一定有 $res=q$，我们称该操作将 $q$ 暴露出来。

$q$ 与 $2n$ 交换，得到 $(1,2n)$。

无论如何 $2n$ 不会作为返回值，因此可以把 $(1,2n)$ 删掉，递归到一个值域为 $[2,2n-1]$ 的子问题。

边界情况是只有一个数对 $(n,n+1)$，不用询问，直接返回。

这样总询问数等于 $2n-2$，比 $2n-3$ 的限制多了一次。

考虑值域为 $[n-1,n+2]$ 的情况，res 一定是 $n$ 和 $n+1$ 之一，我们的目的是将 $(n,n+1)$ 凑对，因此无需 $2$ 次操作，只需一次交换。

具体分讨见代码。submission

醒餞の鳥 (feat. Feryquitous)#

枚举性质 $k$，如果 $i,j$ 满足 $a_{i,k}>a_{i,k}$，那么 $k$ 分配的系数 $X$ 必须保证 $i,j$ 最坏也只能排名相同（不能 $j$ 在 $i$ 前面）。

贪心的把 $1-X$ 分配给与 $k$ 不同且 $a_{j,l}-a_{i,l}$ 最大的性质 $l$，则

$$X\ge {\displaystyle \frac{a_{j,l}-a_{i,l}}{a_{j,l}-a_{i,l}+a_{i,k}-a_{j,k}}}$$

1. $O(n{m}^2)$

   将所有人按照性质 $k$ 排序，$a_{i,k}$ 相同的 $i$ 划分到类 $\{a_{i,k}\}$。

   如果 $\{s_1\},\{s_2\},\{s_3\}$ 是按序排好的三类人。

   使 $\{s_3\}>\{s_2\}$ 的系数为 $X_3$，使 $\{s_2\}>\{s_1\}$ 的系数为 $X_2$。

   由于不等号的传递性，我们不再需要考虑 $\{s_1\},\{s_3\}$，需要考虑的偏序对数降到 $O(n)$。

   考虑相邻的两类人 $j,i$，现在要最大化 $X$：

   $$X\ge {\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{a_{i,k}-a_{j,k}}{max{a}_{j,l}-min{a}_{i,l}}}}}$$

2. $O(n^{2}m)$

   考虑枚举 $i,j,k$，$l$ 为等于 $k$ 且满足 $a_{j,l}-a_{i,l}$ 最大。

   预处理每对 $i,j$ 最大和次大 $a_{j,l}-a_{i,l}$ 对应的编号。（$k$ 为最大值时用最大值转移）

   这样预处理和转移都是 $O(n^{2}m)$ 的。

最后根据数据分治一下，$m<n$ 用算法1，否则用算法2，可以做到 $O(nm\sqrt{nm})$。

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