Codeforces Round 945 (Div. 2) (A - E)

A#

每一轮对总分的贡献都是 $2$，如果 $p_1+p_2+p_3$ 为奇数则无解。

• $p_1+p_2\le p_3$，最多 $p_1+p_2$ 轮。
• $p_1+p_2>p_3$，可以 $1,2$ 轮流将 $3$ 耗完，然后互相匹配，最多 ${\displaystyle \frac{p_1+p_2+p_3}{2}}$ 。

B#

1. 如何判断一个 $k_0$ 是否符合条件？

   处理每一位的前缀和，依次检查每个长度为 $k_0$ 的子串，$O(N\log N)$。

2. 如果 $k_0$ 符合条件，则 $k_1=k_0+1$ 是否符合条件？

   令 $s_i=a_i\mid a_{i+1}\mid \cdots \mid a_{i+k_0-1}$。

   则 $s_i^{\prime }=s_i=a_i\mid a_{i+1}\mid \cdots \mid a_{i+k_1}=s_i\mid s_{i+1}$。

   由于 $\mathrm{\forall }i,j,s_i=s_j$，所以 $\mathrm{\forall }i,j,s_i^{\prime }=s_j^{\prime }$。

答案具有单调性，考虑二分，复杂度 $O(N{\log }^{2}N)$。

C#

长度为 $n$ 的序列最多 $n/2-1$ 个局部最大值。

是否能达到这个上界？

钦定 $n/2$ 个位置为局部最大值，给这些位置按数值从大到小分配 $n/2+1\cdots n$ ，给其他位置按数值从大到小分配 $1\cdots n/2$。

钦定位置的最小值可能为 $n+1$，其他位置的最大值也可能为 $n+1$，不好判断。

如果钦定位置一定包含数值 $n$ 呢？

钦定位置至少为 $n+1$，其他位置最大只有 $n$。

因此，只要在选定 $n/2$ 个位置后，按上述策略分配即可。

由于局部最大值两两不相邻，不妨按照 $n$ 所在位置的奇偶钦定全部奇数位或全部偶数位。

D#

1. 答案 $m$ 一定是最大值 $mx$ 的倍数。
2. 最短子段长度不大于 $n/k$。
3. $m$ 一定不大于 $mx$ 的 $n/k$ 倍。

于是先花 $n$ 次操作找到最大值 $mx$。

再枚举 $m$ 是 $mx$ 的几倍，每轮不超过 $k$ 次，总共不超过 $n$ 次。

E#

1. 如果 $l,r$ 合法，则 $l^{\prime }\le l,r^{\prime }\ge r$ 合法。
2. 找到 $i\ne p_i$ 的最小位置和最大位置 $L,R$，则一定满足充分条件 $l\le L+n\wedge r\ge R+1$。

先看 $l=r$ 的情况。

满足 $\mathrm{\forall }{a}_i\ne i,r=a_i+i$，则答案加一。

再看 $l<r$，不妨枚举 $r\in [R+1,2n]$，找到合法的最大 $l$。

将可以交换的点对 $(x,y)$ 间连边。

当 $l=r-1$ 时，整张图就联通了，也就是任意两个数可以通过若干次间接操作交换，此时一定合法。

得到 $l$ 的上界即 $min(r-1,L+n)$。