学习笔记：Burnside引理、Pólya定理

等价类#

在计数问题中，需要明确计数的对象中哪些是视为相同的，哪些是不同的。我们可以在对象的集合上定义一种 等价关系，然后对 等价类 计数。

关系#

对于一个集合 $X$，它的关系是集合 $X\times X$ 的一个子集 $R$。如果对于 $x,y\in X$，有 $(x,y)\in R$，我们称 $x,y$ 有关系 $R$，记作 $xRy$。

1. $\text{等于 }\subseteq {\mathbb{R}}^{\mathbb{2}},\text{等于 }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{2}}\mid x=y\}$。

   如果 $x\text{等于}y$，那么 $(x,y)\in \text{等于},x=y$。

2. ${\equiv }_m\subseteq {\mathbb{Z}}^2,{\equiv }_m=\{(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2\mid x=y+km\}$。

   如果 $x{\equiv }_{m}y$，那么 $(x,y)\in {\equiv }_m,x=y+km$。

等价关系#

如果关系 $R$ 满足：

• 自反性：$\mathrm{\forall }x\in X,xRx$。
• 对称性：$\mathrm{\forall }x,y\in X,xRy\iff yRx$。
• 传递性：$\mathrm{\forall }x,y,z\in X,xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz$。

则称 $R$ 是 $X$ 上的一个等价关系。

等价类#

假设关系 $R$ 是 $X$ 上的一个等价关系，对于 $x\in X$，令 ${\mathbf{x}}_R=\{y\in X\mid xRy\}$，则

• 如果 $xRy$ 成立，那么 ${\mathbf{x}}_R={\mathbf{y}}_R$（$xRz\wedge xRy\Rightarrow yRz$）。
• 如果 $xRy$ 不成立，那么 ${\mathbf{x}}_R\cap {\mathbf{y}}_R=\varnothing$（$xRz\wedge yRz\Rightarrow xRy$）。

则称 ${\mathbf{x}}_R$ 为代表元 $x$ 的一个 $R$ 等价类，所有 $R$ 的等价类构成集合 $X$ 的一个分划。

例：给一个 $n$ 元环的节点涂上颜色，$m$ 种颜色，通过旋转得到的方案算同一种方案，求方案数。

定义关系 $R=\{\text{(方案一, 方案二)}\mid \mathrm{方}\mathrm{案}\mathrm{一}\mathrm{通}\mathrm{过}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{方}\mathrm{案}\mathrm{二}\}$。

自反性：$(\text{方案一, 方案一})\in R$。

对称性：$(\text{方案一, 方案二})\in R\iff (\text{方案二, 方案一})\in R$。

传递性：$(\text{方案一, 方案二})\in R\wedge \text{方案二, 方案三})\in R\Rightarrow (\text{方案一, 方案三})\in R$。

所以 $R$ 是 $\{\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{方}\mathrm{案}\}$ 上的一个等价关系，将问题转化为求 的 $\{\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{方}\mathrm{案}\}$ 的 $R$ 等价类有多少。

一般来说，我们可以把等价关系描述为：两个对象等价当且仅当一个对象可以通过 "某些操作" 变为另一对象，这促使我们考虑所有 "操作" 的集合的性质。

置换群#

我们用置换群来刻画 "操作" 的集合。

置换#

设 $n$ 元集合 $A=\{a_1,a_2\dots ,a_n\}$，将 $A$ 上的一个一一映射 $g:A\to A$ 称为 $A$ 上的一个置换。

置换 $g=[p_1,p_2,\dots ,p_n]$ 表示 $\mathrm{\forall }i.g(a_i)=a_{p_i}$。

• $n$ 元集合上的置换有 $n!$ 个。
• 将置换 $g$ 的每个 $i$ 指向 $p_i$，得到一个环的森林。

置换的复合#

$A$ 的置换 $g,h$ 的复合是一个新的置换，记为 $g\circ h$，满足 $(g\circ h)(a_i)=g(h(a_i))$。

例：假设 $A=\{1,2,\dots ,n\},g=[2,3,\dots ,n,1],h=[2,3,\dots ,n,1]$，则 $g\circ h=[3,4,\dots ,1,2]$。

群#

设集合 $G$ 和一个定义在 $G$ 上的二元运算 $\circ :G\times G\to G$，满足：

• 结合律：$\mathrm{\forall }a,b,c\in G.(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$。
• 单位元：$\mathrm{\exists }e\in G.\mathrm{\forall }a\in G.a\circ e=e\circ a=a$。
• 逆元：$\mathrm{\forall }a\in G.\mathrm{\exists }b\in G.a\circ b=b\circ a=e$，记为 $a^{-1}$。

则称 $(G,\circ )$ 是一个群。

1. $(\mathbb{R},+)$。

   结合律：$\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{R}.(a+b)+c=a+(b+c)$。

   单位元：$e=0.\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}.a+0=0+a=a$。

   逆元：$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}.a^{-1}=-a.a+(-a)=(-a)+a=0$。

2. 令 $S_n$ 为全部 $n$ 元置换的集合，$\circ$ 为置换的复合，则 $(S_n,\circ )$ 是一个群。（对称群）

   结合律：$\mathrm{\forall }f,g,h\in S_n.(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$。

   $$\{\begin{array}{l}((f\circ g)\circ h)(a_i)=(f\circ g)(h(a_i))=f(g(h(a_i)))\\ \\ (f\circ (g\circ h))(a_i)=f(g\circ h(a_i))=f(g(h(a_i)))\end{array}$$

   单位元：$e=[1,2,\dots ,n],\mathrm{\forall }f\in S_n.f\circ e=e\circ f=f$。

   逆元：$\mathrm{\forall }f\in G$，$f^{-1}$ 是其反函数。

置换群#

$G$ 是置换的集合，$\circ$ 为置换的复合，且 $(G,\circ )$ 是一个群，称 $(G,\circ )$ 是一个置换群。（对称群的子群）

例：

设 $n$ 元环的 $n$ 个节点分别为 $a_1,a_2\cdots ,a_n$，旋转操作可以看成 $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ 上的 $n$ 个置换，其中 $g_i=[i+1,i+2,\cdots ,n,1\cdots ,i]$。

设集合 $G=\{g_0,g_1,\cdots ,g_{n-1}\}$，则 $(G,\circ )$ 是一个置换群，称为正 $n$ 边形旋转群。

若 $g_i,g_j\in G$，则 $g_i\circ g_j=g_{i+jmodn}\in G$，所以复合运算关于 $G$ 是封闭的。

单位元：$g_0$。逆元：$g_i^{-1}=g_{n-imodn}$。

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群对集合的作用#

一个操作会将一个对象改变为另一个对象，形式化的：

设 $(G,\circ )$ 是一个群，其单位元为 $e$，群 $G$ 对集合 $X$ 的作用是一个 $G\times X$ 到 $X$ 的映射 $f$。

我们把 $f(g,x)$ 记做 $g_f(x)$ 或（没有歧义的情况下记成）$g(x)$，满足：

• $\mathrm{\forall }x\in X,f(e,x)=x$。

• $\mathrm{\forall }g,h\in G.f(g\circ h,x)=f(h,f(h,x))$。

• $X$ 上的 $G$ 关系：$R_G=\{(x,y\mid x,y\in X\wedge (\mathrm{\exists }g\in G.y=g(x))\}$，即 $y$ 通过 $G$ 的作用能变成 $x$。

  具体的讲，一种染色方案能通过正 $n$ 边形旋转群上的作用变为另一种，则称这两种方案是等价的。

• $R_G$ 是等价关系，它将 $X$ 划分为若干个等价类，每个等价类称为 $X$ 上的 $G\text{-}$轨道。

例：

设 $n$ 元环的 $n$ 个节点分别为 $a_1,a_2\cdots ,a_n$，令 $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$。设颜色集合 $B=\{b_1,b_2\cdots ,b_m\}$，染色操作可以看成 $A$ 到 $B$ 的映射，令 $X$ 是所有这些映射的集合，即 $X=\{x\mid x:A\to B\}$。

令 $G=\{g_0,g_1,\dots ,g_{n-1}\}$ 是正 $n$ 边形旋转群，定义 $G\times X$ 到 $X$ 的映射 $f$。

其中 $\mathrm{\forall }i\in [0,n),x\in X.y=f(g_i,x)$ 满足 $\mathrm{\forall }j\in [0,n),y(a_j)=x(g(a_j))$，可以证明 $f$ 是 $G$ 对 $X$ 的一个作用，简记 $y=f(g_i,x)$ 或 $y=g_i(x)$。

实际意义就是先把 $a_i$ 通过置换变为新的节点 $a_j$，再看 $a_j$ 在原来的 $x$ 上会被染成什么颜色，把这个颜色安排给 $a_i$。

$X$ 上的 $G$ 关系为 $R_G=\{(x,y\mid x,y\in X\wedge (\mathrm{\exists }g\in G.y=g(x))\}$，$x{R}_{G}y$ 当且仅当染色方案 $x$ 能通过旋转得到 $y$。

不同的染色方案，即 $X$ 上 $G\text{-}$ 轨道的数量。

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Burnside 引理#

定理#

设有限群 $(G,\circ )$ 作用在有限集 $X$ 上，则 $X$ 的 $G\text{-}$ 轨道数量为

$$N={\displaystyle \frac{1}{|G|}}\sum _{g\in G}\psi (g)$$

其中 $\psi (g)$ 表示满足 $g(x)=x$ 的 $x$ 的数量。

简单应用#

给一个六元环的节点染色，共 $m$ 种颜色，通过旋转得到的算一种方案，求方案数。

令 $X=\{\{a_1,a_2,\dots ,a_6\}\to \{b_1,b_2,\dots ,b_m\}\}$，$G$ 是正六边形旋转群，分别是：

• $e=[1,2,3,4,5,6],\psi (e)=m^6$。
• $g_1=[2,3,4,5,6,1],\psi (g_1)=m$。
• $g_2=[3,4,5,6,1,2],\psi (g_1)=m^2$。
• $g_3=[4,5,6,1,2,3],\psi (g_1)=m^3$。
• $g_4=[5,6,1,2,3,4],\psi (g_1)=m^2$。
• $g_5=[6,1,2,3,4,1],\psi (g_1)=m$。

因此 $N={\displaystyle \frac{1}{6}}(m^6+m^3+2m^2+2m)$。

对于每一种置换 $g_i$，让 $a_j$ 向 $g_i(a_j)$ 连边：

$e=[1,2,3,4,5,6]$

$g_1=[2,3,4,5,6,1]$

$g_2=[3,4,5,6,1,2]$

$g_3=[4,5,6,1,2,3]$

不难观察到，同一环内颜色只有相同才能保持不变，不同环间颜色任取。

于是每个 $g_i$ 对应的不动点也非常好计算了。

推广到更一般的情况。

给一个 $n$ 元环的节点染色，共 $m$ 种颜色，通过旋转得到的算一种方案，求方案数。

• $\psi (g_i)=m^{gcd(n,i)}$。

• $$\begin{array}{rl}N=& ={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}{m}^{(n,i)}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{d\mid n}\sum _{i=0}^{n-1}[(n,i)=n/d]m^{n/d}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{d\mid n}\sum _{i=0}^{n-1}[(d,di/n)=1]m^{n/d}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{d\mid n}\sum _{j=0}^{d-1}[(d,j)=1]m^{n/d}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{d\mid n}\phi (d)m^{n/d}\end{array}$$

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置换群的轮换指标#

置换群的轮换指标#

• 轮换的形式：把置换群中的每个环上的节点按顺序记录下来，它是置换的另一种表现形式，比如 $g=[3,4,5,6,1,2]=(135)(246)$。
• 置换形：如果 $n$ 元置换 $g$ 有 $b_i$ 个长度为 $i$ 的环，则称这个 $g$ 形为 $ 1^{b_1}2\cdots n^{b_n}$。

设 $(G,\circ )$ 是一个 $n$ 元置换群，则它的轮换指标为：

$$P_G(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{g\in G}{x}_1^{b_1}{x}_2^{b_2}\cdots x_n^{b_n}$$

1. 正 $n$ 边形旋转群的轮换指标：

$$P_G={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{d\mid n}\phi (d)x_d^{n/d}$$

2. 正 $n$ 边形二面体群（旋转，翻转为同一方案）的轮换指标：

   首先考虑群的大小，有 $n$ 个旋转置换和 $n$ 个翻转置换。

   如果 $n$ 为偶数，

   那么它的一个翻转置换可能形为 $1^2{2}^{\frac{n-2}{2}}$（对角线作对称轴），可能形为 $2^{n/2}$（对边中点连线作对称轴），各 $n/2$ 个。

   如果 $n$ 为奇数，则其所有翻转置换都形为 $1^1{2}^{\frac{n-1}{2}}$。

   所以正 $n$ 边形二面体群的轮换指标为

   $$P_G={\displaystyle \frac{1}{2n}}\sum _{d\mid n}\phi (d)x_d^{n/d}+\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_1{x}_2^{\frac{n-1}{2}}& n\text{ 为奇数}\\ \\ {\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_1^2{x}_2^{\frac{n-2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_2^{\frac{n}{2}}& n\text{ 为偶数}\end{array}$$

有关正方体的置换群#

顶点置换群

$$P_G={\displaystyle \frac{1}{24}}(x_1^8+8x_1^2{x}_3^2+9x_2^4+6x_4^2)$$

边置换群

$$P_G={\displaystyle \frac{1}{24}}(x_1^{12}+8x_3^4+6x_1^2{x}_2^5+3x_2^6+6x_4^3)$$

面置换群

$$P_G={\displaystyle \frac{1}{24}}(x_1^6+8x_3^2+6x_2^3+3x_1^2{x}_2^2+6x_1^2{x}_4)$$

证明：对置换分类，然后再看轮换个数。

• 不动：即恒等变换。
• 以两个相对面的中心连线为轴的 ${90}^{\circ }$ 旋转：相对面有 3 种选择，旋转的方向有两种选择，共 6 个置换。
• 以两个相对面的中心连线为轴的 ${180}^{\circ }$ 旋转：相对面有 3 种选择，旋转方向的选择对置换不再有影响，共 3 个置换。
• 以两条相对棱的中点连线为轴的 ${180}^{\circ }$ 旋转：相对棱有 6 种选择，旋转方向对置换依然没有影响，共 6 个置换。
• 以两个相对顶点的连线为轴的 ${120}^{\circ }$ 旋转：相对顶点有 4 种选择，旋转的方向有两种选择，共 8 个置换。

UVA10601 Cubes

题意：用 $12$ 根木条搭建正方体，最多 $6$ 种颜色，给出每根木条颜色，求能搭建不同的正方体的数量（不能在旋转翻转等操作后重合）。

$$P_G={\displaystyle \frac{1}{24}}(x_1^{12}+8x_3^4+6x_1^2{x}_2^5+3x_2^6+6x_4^3)$$

依次考虑公式的每一项，设第 $i$ 种颜色有 $c_i$ 个。

• $x_1^{12}$ 表示染 $12$ 个长度为 $1$ 的环，不同的方案为 ${\displaystyle \frac{12!}{c_1!\cdots c_6!}}$。
• $x_3^4$ 表示染 $4$ 个长度为 $3$ 的环，环内颜色相同，当且仅当 $\mathrm{\forall }{c}_{i}mod3=0$ 时有 ${\displaystyle \frac{4！}{(c_1/3)!\cdots (c_6/3)!}}$ 种不同的方案。
• 枚举两个一元环颜色，$\sum _{i,j=1}^6{\displaystyle \frac{5!}{(c_1^{\prime }/2)!\cdots (c_6^{\prime }/2)!}}$。

后两项同样处理。

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Pólya 定理#

• 集合 $X$ 可以看成是给集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ 的每个元素赋予样式（颜色，种类等）的映射的集合。
• 引入表示式样的集合 $B$，令 $X=\{f\mid f:A\to B\}$，记为 $B^A$。
• $G$ 在 $B^A$ 上的作用：$A$ 上的置换群 $G$ 对 $B^A$ 的作用为：$g(f):a\to f(g(a))$。
• 式样清单：$G$ 作用在 $B^A$ 上的 $G\text{-}$ 轨道的集合称为 $B^A$ 关于 $G$ 的式样清单。

Pólya 定理（简化版）

$B^A$ 关于 $G$ 的式样清单记为 $\mathcal{F}$，则

$$|\mathcal{F}|=P_G(|B|,|B|,\dots ,|B|)$$

Pólya 定理#

• 种类的权值：假设 $B$ 上的每个元素 $b$ 都赋予了权值 $w(b)$。
• $f\in B^A$ 的权值：定义 $w(f):=\prod _{a\in A}w(f(a))$。
• $G\text{-}$ 轨道的权值（等价类）：$w(F):=w(f)$，任选一个 $f\in F$。

$$\sum _{F\in \mathcal{F}}w(F)=P_G(\sum _{b\in B}w(b),\sum _{b\in B}w(b{)}^2,\dots ,\sum _{b\in B}w(b{)}^n)$$

具体应用

给 $3\times 3$ 的方格染色，通过旋转或翻转可以得到的方案算同一方案，求有多少种方案满足恰好 $2$ 个红格子，$3$ 个蓝格子，$4$ 个白格子。

先考虑群内置换数。

旋转置换：$0^{\circ },{90}^{\circ },{180}^{\circ },{270}^{\circ }$，共 $4$ 个。

翻转置换：左右翻，上下翻，两条对角线，共 $4$ 个。

有

$$P_G={\displaystyle \frac{1}{8}}(x_1^9+x_1{x}_2^4+2x_1{x}_4^2+4x_1^3{x}_2^3)$$

定义红色权值为 $r$，蓝色权值为 $b$，白色权值为 $1$。

将 $x_i$ 替换为 $r^i+b^i+1$。

$$f(r,b)={\displaystyle \frac{1}{8}}[(r+b+1{)}^9+(r+b+1)(r^2+b^2+1{)}^4+2(r+b+1)(r^4+b^4+1{)}^2+4(r^3+b^3+1{)}^3(r^2+b^2+1{)}^3]$$

要求的东西恰为 $[r^2{b}^3]$ 的系数。（用多项式做不现实，常用 dp）

例题#

E-远山的占卜#

题意：$2n$ 个元素排成一圈，$k$ 种颜色，两种染色等价表示可以通过旋转或 翻转对角元素 得到，问本质不同的染色数。

由于对角是等效的，不妨把对角元素绑定，相当于一个 pair，那么元素对的颜色共 ${\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}$ 种。

$n$ 个元素对的排列可以唯一对应一种 $2n$ 个元素的排列。

则问题转化为 $n$ 个点，${\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}$ 种颜色的基本染色问题。

submission

POJ2888 Magic Bracelet#

题意：长度为 $n$ 的环形项链，$m$种颜色，每个珍珠可以任选一种颜色染色，但是规定了$k$对禁止关系$(a,b)$，即不能存在颜色分别为 $a,b$ 的珍珠相邻。

求本质不同的方案数。(通过旋转得到的项链为本质相同)

$$P_G={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{d\mid n}\phi (d)x_d^{n/d}$$

回归到求 $n/d$ 个长度为 $d$ 的环的合法染色。

对于一个位置 $p$，$p+d$ 与它在同一循环内，颜色相同。

因此，只要考虑 $[0,n/d)$ 的合法染色即可，注意 $0$ 与 $n/d-1$ 也视作相邻。

构造颜色的邻接矩阵 $G$，$G_{i,j}=[i,j\text{ 可以相邻}]$。

一个染色方案唯一对应于一条经过 $n/d$ 条边的路径。

很明显用矩阵快速幂做。

由于 $c_0=c_{n/d}$（$c$ 为颜色），最终方案为 $\sum G_{i,i}^{n/d}$，表示从颜色 $i$ 经过 $n/d$ 条边走回颜色 $i$ 的不同路径数。

submisson

UVA11255 Necklace#

题意：有$n$个珠子，其中$a$个白色，$b$个灰色，$c$个黑色，$(n=a+b+c)$。用这 $n$ 个珠子组成项链，能组成多少种不同的项链？若两条项链，其中一条通过旋转和翻转能变成另一条，则这两条项链视为相同。

$$P_G={\displaystyle \frac{1}{2n}}\sum _{d\mid n}\phi (d)x_d^{n/d}+\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_1{x}_2^{\frac{n-1}{2}}& n\text{ 为奇数}\\ \\ {\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_1^2{x}_2^{\frac{n-2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_2^{\frac{n}{2}}& n\text{ 为偶数}\end{array}$$

求 $tot$ 个环，第 $k$ 个环的长度为 $s{z}_k$ 的合法方案，满足任意环内颜色相同。

定义 $f_{k,i,j}$ 表示前 $k$ 个环，用 $i$ 个白，$j$ 个灰的方案数。

讨论第 $k$ 个环的颜色，稍微注意点边界。

$$f_{k,i,j}=f_{k-1,i,j}+f_{k-1,i-s{z}_k,j}+f_{k-1,i,j-s{z}_k}$$

submission