Codeforces Round 943 (Div. 3)(C-G)

C#

题意：对于 $i\in [2,n]$，给定 $x_i=a_{i}mod{a}_{i-1}$，构造一种符合条件的 $a$，$1\le a_i\le {10}^9$。

分析 $a_i$ 和 $a_{i-1}$ 的大小关系。

• $x_i<a_i⟶a_{i-1}<a_i$。

• $x_i=a_i⟶a_{i-1}>a_i$。

为了不越界，$a_i$ 和 $a_{i-1}$ 都要尽可能大。

于是可以从 $n$ 往前构造。

• $a_n={10}^9$。
• $x_i<a_i$，$a_{i-1}=a_i-x_i$。
• $x_i=a_i$，$a_{i-1}={10}^9$ 。

submission

D#

最后一定是停在某个点不动，枚举最后停留的点即可。

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E#

令 $(i,j)$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列。

• 若 $j=1$ 或 $j=2$，填 $(1,j)$。

• 否则填 $(j,j)$。

这样 $2n-2$ 种长度都有了，从结论反推正确性很简单。

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F#

题意：给定序列 $a$，每次询问一对 $[l,r]$ 是否能划分成大于 $1$ 段使得各段异或值相等。

区间问题先转化为前缀异或。

1. $s_r\oplus s_{l-1}=0$。

   题目保证了 $l<r$，所以一定有解。

2. $s_r\oplus s_{l-1}=v$。

   • 一定划分为奇数段。

   • 如果能划分成奇数段，则一定能划分成 $3$ 段。

   • 最终划分的异或值一定是 $v$。

   于是问题转变为是否能把 $[l,r]$ 分成三段，使得每段异或值都为 $v$。

   找到最大的 $i<r$ 使得 $s_r\oplus s_i=v$，如果找不到则无解。

   找到最大的 $j<i$ 使得 $s_i\oplus s_j=v$，如果找不到或 $j<l-1$ 则无解。

   具体实现可以维护一个 map<int, vector<int>>。

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G1#

题意：将字符串 $s$ 划分成 $k$ 段，问每段的最长公共前缀($\text{LCP}$)。

如果存在划分使得 $\text{LCP}$ 为 $v$ ，则任意 $v^{\prime }<v$ 都存在划分。

单调性存在，二分前缀长度。

令前缀字符串为 $t$，$s$ 种最多有 $x$ 个不相交的子串 $t$。

如果 $x\ge k$，则存在划分使得 $\text{LCP}$ 为 $t$。

可以用 $\text{kmp}$ 或字符串哈希求出 $x$。

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G2#

题意：将字符串 $s$ 划分成 $k$ 段，问每段的 $\text{LCP}$，求出 $L\le k\le R$ 的每个答案。

$k$ 越大，答案 $l$ 越小，最终的答案序列单调不增。

根号分治。

当 $k\le \sqrt{n}$ 时，用 $G1$ 的方法暴力计算。

当 $k\ge \sqrt{n}$ 时，$l\le \sqrt{n}$。

对于每个前缀 $l\le \sqrt{n}$ 分别计算出答案 $x$。

$x$ 能划分出 $l$，则 $\mathrm{\forall }{x}^{\prime }<x$ 也能划分出 $l$，最后对答案取个后缀 $max$ 即可。

实测 $O(n\sqrt{n}\log n)$ 的复杂度还是很吃紧，可以加记忆化剪枝。

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