Codeforces Round 942 (Div. 2) (A - D)

A. Contest Proposal#

如果 $a_i>b_i$，则答案加一，令 $\mathrm{\forall }i\in [i+1,n],a_i\leftarrow a_{i-1}$。

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B. Coin Games#

题意：$n$ 枚硬币围成一圈，给出初始硬币状态，每取出一枚正面朝上的硬币并翻转相邻的两枚，没有正面则对方获胜，问先手胜负。

令当前正面硬币数为 $cur$。

• $\text{UUU}\to cur-3$
• $\text{UUD}\to cur-1$
• $\text{DUD}\to cur+1$

每一次操作都会改变 $cur$ 的奇偶性，先手获胜当且仅当在第偶数次操作时 $cur=0$，所以当初始 $cur$ 为奇数时先手必胜，否则后手必胜。

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C. Permutation Counting#

题意：现有 $a_i$ 个数字 $i$，你可以新添 $k$ 个数字，问这些数字组成的序列中最多几个排列。

先考虑 $k=0$。

把 $a$ 排序使得 $a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$，并让 $a_i$ 对应的数为 $x_i$。

以 $x_1,x_2\cdots x_n$ 的顺序往下填能使任意长度为 $n$ 的字串是排列，一定最优。

• 填满 $x_n$ 个如上循环节。
• 继续填 $x_1,x_2\dots ,x_{n-1}$，再往后不可能再出现排列（$x_n$ 没了）。

此时的排列数为 $n{a}_n-1$。

如果 $a_{n-1}=a_n$ 呢，那么 $x_{n-2}$ 后就不能填了，以此类推。

最后答案为 $n{a}_n-\sum [a_i=a_n]$。

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先往里新增 $k$ 个数。

注意到只有改变最小值才会产生贡献。

$a_n+1$ 带来的影响大于 $\sum [a_i=a_n]$ 的影响，所以二分最小值，若 $k$ 有剩余，再去减小 $\sum [a_i=a_n]$ 。

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D1. Reverse Card (Easy Version)#

题意：求 $\sum _{a=1}^n\sum _{b=1}^m[b\cdot gcd(a,b)\mid a+b]$。

$$b\cdot gcd(a,b)\mid a+b\Rightarrow b\mid a$$

不妨枚举 $a=bi$，此时 $gcd(a,b)=b$。

则 $b\cdot gcd(a,b)\mid a+b\Rightarrow b\mid i+1$。

所以答案为

$$\sum _{b=1}^m\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{b}\rfloor }[b\mid i+1]$$

后面一部分即求 $[2,\lfloor \frac{n}{b}\rfloor +1]$ 有多少 $b$ 的倍数，直接算 $\lfloor {\displaystyle \frac{\lfloor \frac{n}{b}\rfloor +1}{b}}\rfloor -[b=1]$。

时间复杂度 $O(\sum m)$。

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D2. Reverse Card (Hard Version)#

题意：求 $\sum _{a=1}^n\sum _{b=1}^m[a+b\mid b\cdot gcd(a,b)]$。

不妨设 $gcd(a,b)=i,a=pi,b=qi$，有 $gcd(p,q)=1$。

那么 $p+q\mid qi$。

又因为 $gcd(p,q)=1$，所以 $p+q\mid i$。

于是问题转化为

$$\sum _{p=1}^n\sum _{q=1}^m[gcd(p,q)=1]\sum _{p+q\mid i}[i(p+q)\le min(n,m)][pi\le n][qi\le m]$$

注意到 $p<i,pi<n$，所以 $p^2<n$。

直接枚举 $gcd(p,q)=1$，计算 $min(\lfloor {\displaystyle \frac{min(n,m)}{p+q}}\rfloor ,\lfloor {\displaystyle \frac{n}{p}}\rfloor ,\lfloor {\displaystyle \frac{m}{q}}\rfloor )$。

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