Codeforces Round 934 2D/1B

Link

场上思路出的最快的一题，但没调出来。

反着考虑全为回文串需满足哪些情况。

若 $k=1$，没有限制条件。

若 $k=2$，对于任意三个位置 _ _ _，先填 $x$ $x$ _，然后二三也要回文，第三位只能是 $x$，最终整段区间全部相同。

若 $k=3$，全部相同的情况肯定满足，考虑出现不同元素：

• _ _ _ _
• $x$ _ $x$ _
• $x$ $y$ $x$ _

此时二到四段也要回文，最终 $x$ $y$ $x$ $y$ 交替出现。

以此类推 $k>3$ 的情况，得到结论：

奇数需间隔排列或全相等，偶数只能全相等。

此处有一特殊情况，若 $k=r-l+1$，那么只要整段不回文，就有 $r-l+1$ 的贡献。

如何快速判断区间全部相等？#

只需维护 $lst[i]$ 表示前一个与 $s[i]$ 不同的元素的位置，最后判断 $lst[r]<l$。
具体实现：

	vector<int> lst(n, -1);
	for(int i = 1; i < n; ++ i) {
		if(s[i] != s[i - 1]) lst[i] = i - 1;
		else lst[i] = lst[i - 1];
	}

如何快速判断元素交替出现？#

维护 $f[i][pre]$ 表示从 $i$ 起，前一位的值是 $pre$ 的交替段向左延伸的最大长度。

这里再维护一个 $L[i]=i-f[i][s[i-1]]+1$ 得到区间左端点，判断 $L[r]<=l$。

	vector<vector<int>> f(n, vector<int>(128, 1));
	vector<int> L(n, 0);
	for(int i = 1; i < n; ++ i) {
		f[i][s[i - 1]] = 1 + f[i - 1][s[i]];
		L[i] = i - f[i][s[i - 1]] + 1;
	}

如何判断区间是否回文？#

可以 $manacher$，但我不会，这里用字符串哈希解决。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++ i)
#define per(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); -- i)
using namespace std;
using ll = unsigned long long;
constexpr int N = 2e5 + 5, B = 131, P = 1e9 + 7;

ll pre[N], pw[N] = {1};
ll h[N], t[N];
ll H(int l, int r) {return (h[r] - (h[l - 1] * pw[r - l + 1]) % P + P) % P;}
ll T(int l, int r) {return (t[r] - (t[l - 1] * pw[r - l + 1]) % P + P) % P;}

void init(ll *a, string &s) {
	a[0] = s[0];
	for(int i = 1; i < s.length(); ++ i) {
		a[i] = (a[i - 1] * B + s[i]) % P; 
	}
}

void solve() {
	int n, m; cin >> n >> m;
	string s; cin >> s;
	string _ = s;
	reverse(_.begin(), _.end());
	init(h, s);
	init(t, _);
	
	vector<int> lst(n, -1);
	for(int i = 1; i < n; ++ i) {
		if(s[i] != s[i - 1]) lst[i] = i - 1;
		else lst[i] = lst[i - 1];
	}
	
	vector<vector<int>> f(n, vector<int>(128, 1));
	vector<int> L(n, 0);
	for(int i = 1; i < n; ++ i) {
		f[i][s[i - 1]] = 1 + f[i - 1][s[i]];
		L[i] = i - f[i][s[i - 1]] + 1;
	}
	
	for(int i = 0; i < m; ++ i) {
		int l, r; cin >> l >> r;
		-- l, -- r;
		if(lst[r] < l) cout << 0 << '\n';
		else {
			ll len = r - l + 1;
			ll ans = (len - 1) * len / 2;
			ans --;
			if(L[r] <= l) {
				ans -= pre[len - 1];
			}
			if(H(l, r) != T(n - r - 1, n - l - 1)) ans += len;
			cout << ans << '\n';
		}
	}
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	for(int i = 3; i <= 2e5; ++ i) pre[i] = pre[i - 1] + (i & 1) * i;
	for(int i = 1; i <= 2e5; ++ i) pw[i] = pw[i - 1] * B % P;
	int T = 1;
	cin >> T;
	while(T --) solve();
	return 0;
}