CF633H (线段树维护矩乘 + 莫队)
Fibonacci-ish II
题意：给定一个长度最大为 \(30000\) 的序列，和最多 \(30000\) 个询问，每个询问问某区间 \([L,R]\) 里的数，去掉重复然后排序之后，依次乘上斐波那契数列然后求和，结果对 \(m\) 取余的值。
转化一下题意，也就是在值域数轴上求 \(\sum a_i \cdot b_i\)。
\(a_i\) 是当前位置的值，如果在询问区间中存在就为 \(val\)，否则为 \(0\)。
\(b_i\) 是该位置乘的哪个斐波那契数。
考虑在 \(p\) 位置加入一个数，会产生什么变化。
- \(a_p = val\)
- \([p + 1, inf]\) 的所有 \(b\) 变为其下一项。
斐波那契有良好的性质。
\[\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & 0 \\
\end{matrix}
\right]^n =
\left[
\begin{matrix}
Fib_{n + 1} & Fib_n\\
Fib_n & Fib_{n - 1}
\end{matrix}
\right]
\]
所以操作二转化为 \([p + 1, inf]\) 所有 \(b\) 乘上 \(\left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\)，用线段树维护。
每个节点的懒标记可以用矩阵维护，但常数太大。
只记录每个懒标记的次数，预处理 \(Fib[i]\) 和 \(invFiv[i]\) 来分别表示 \(\left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]^i\) 和其逆 \(\left[ \begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & -1 \\ \end{matrix} \right]^i\)。
为了减小常数，这里我用一维数组来实现矩阵。
#pragma GCC optimize("Ofast", "inline", "-ffast-math")
#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++ i)
#define per(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); -- i)
#define pb emplace_back
#define All(X) X.begin(), X.end()
using namespace std;
using ll = long long;
constexpr int N = 3e4 + 5, B = 175;
int n, m, P, Fib[N][4] = {1, 0, 0, 1}, invFib[N][4] = {1, 0, 0, 1};
int M[4] = {1, 1, 1, 0};
int invM[4] = {0, 1, 1, -1};
int c[4];
inline void mul(int a[4], int b[4]) {
c[0] = (a[0] * b[0] + a[1] * b[2]) % P;
c[1] = (a[0] * b[1] + a[1] * b[3]) % P;
c[2] = (a[2] * b[0] + a[3] * b[2]) % P;
c[3] = (a[3] * b[3] + a[2] * b[1]) % P;
memcpy(a, c, 16);
}
int a[N], b[N], tot;
int t[N << 2][4], val[N << 2], tag[N << 2];
#define ls x << 1
#define rs ls | 1
inline void pushup(int x) {
t[x][0] = (t[ls][0] * val[ls] + t[rs][0] * val[rs]) % P;
t[x][1] = (t[ls][1] * val[ls] + t[rs][1] * val[rs]) % P;
t[x][2] = (t[ls][2] * val[ls] + t[rs][2] * val[rs]) % P;
t[x][3] = (t[ls][3] * val[ls] + t[rs][3] * val[rs]) % P;
}
/*
由于 val 可能为 0，直接在叶子节点上操作有可能会丢失信息
因此把乘 val 的操作放在 pushup 中完成
*/
inline void pushdown(int x) {
if(tag[x]) {
if(tag[x] > 0) {
mul(t[ls], Fib[tag[x]]);
mul(t[rs], Fib[tag[x]]);
}
if(tag[x] < 0) {
mul(t[ls], invFib[-tag[x]]);
mul(t[rs], invFib[-tag[x]]);
}
tag[ls] += tag[x];
tag[rs] += tag[x];
tag[x] = 0;
}
}
void build(int x = 1, int l = 1, int r = tot) {
val[x] = l != r; //非叶子节点的 val 为 1
if(l == r) {
memcpy(t[x], M, 16);
return;
}
int mid = l + r >> 1;
build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r);
}
inline void insert(int p, int x = 1, int l = 1, int r = tot) {
if(l == r) return val[x] = b[p], void();
pushdown(x);
int mid = l + r >> 1;
if(p <= mid) {
insert(p, ls, l, mid);
mul(t[rs], M);
++ tag[rs];
}
else insert(p, rs, mid + 1, r);
pushup(x);
}
inline void erase(int p, int x = 1, int l = 1, int r = tot) {
if(l == r) return val[x] = 0, void();
pushdown(x);
int mid = l + r >> 1;
if(p <= mid) {
erase(p, ls, l, mid);
mul(t[rs], invM);
-- tag[rs];
}
else erase(p, rs, mid + 1, r);
pushup(x);
}
int cnt[N], ans[N];
inline void add(int x) {
if(++ cnt[x] == 1) insert(x);
}
inline void del(int x) {
if(-- cnt[x] == 0) erase(x);
}
#define c(x) ((x) / B)
struct qry {
int l, r, id;
bool operator < (const qry &x) {
if(c(l) != c(x.l)) return c(l) < c(x.l);
if(c(l) & 1) return c(r) < c(x.r);
return c(r) > c(x.r);
}
} q[N];
void init_Fib() {
rep(i, 1, n) {
memcpy(Fib[i], Fib[i - 1], 16);
memcpy(invFib[i], invFib[i - 1], 16);
mul(Fib[i], M);
mul(invFib[i], invM);
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
cin >> n >> P;
invM[3] = P - 1;
init_Fib();
rep(i, 1, n) {
cin >> a[i];
b[i] = a[i];
}
sort(b + 1, b + n + 1);
tot = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
rep(i, 1, n) {
a[i] = lower_bound(b + 1, b + tot + 1, a[i]) - b;
}
rep(i, 1, tot) {
b[i] = (b[i] % P + P) % P;
}
cin >> m;
rep(i, 1, m) {
cin >> q[i].l >> q[i].r;
q[i].id = i;
}
sort(q + 1, q + m + 1);
build();
int l = 1, r = 0;
rep(i, 1, m) {
auto[L, R, id] = q[i];
while(l < L) del(a[l ++]);
while(l > L) add(a[-- l]);
while(r < R) add(a[++ r]);
while(r > R) del(a[r --]);
ans[id] = t[1][2] % P;
}
rep(i, 1, m) cout << ans[i] << '\n';
return 0;
}
