浅谈快速幂

前言: 这份讲解只针对于C++新手,各位大佬请绕道,如有讲解错误的地方可留言给我,我会在第一时间回复并加以改正。

引入:快速幂的定义:顾名思义,快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N), 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

铺垫: 因为在代码实现中要用到位运算,没有学过位运算的读者我在这里简单讲解一下:
基本算术位运算:

and,&,如果两个相应的二进制位都为1,则该位的结果值为1;否则为0。例:11&3 =1011 & 11(二进制数)=11(二进制数) = 3

or,|,如果两个相应的二进制位只要有一个是1,结果就是1;否则为0。
例:11|2=1011 | 10(二进制数)=1011(二进制数) =11

not,~,这个在加法中用到
x-y = x + ~y + 1
所以~y = - y -1
比如 ~11 = -11 -1 = -12

异或xor,^,两个相同的数会变成0,反之是1
例:11 ^ 3=1011 ^ 11 (二进制数)= 1000 (二进制数)=8

左移 :在二进制表示下把数字同时向左移动,地位以0填充,高位越界后舍弃。

1<<n=2n,n<<1=2n

算术右移 :在二进制补码表示下把数字同时向右移动,高位以符号位填充,低位越界后舍弃。

n>>1=n/2.0

算术右移等于除以2向下除整, (3)>>1=2,3>>1=1
值得一提的是,“整数/2”在C++中实现为“除以2向零取整”,(3)/2=1,3/2=1。请读者自己尝试使用C++编译器编译运行类似的语句,检查运算结果。

原理:比如我们要求 ab 次方对 p 取模的值,其中1<=a,b,p<=109
相关题目:Poj1995 Raising Modulo Numbers(快速幂)
Poj1995 Raising Modulo Numbers(快速幂)

根据数学常识,每一个正整数可以唯一表示为若干指数不重复的2的次幂的和。也就是说,如果 b 在二进制表示下有k 位,其中第i(0<=i<k)位的数字是 ci

那么: b=ck2k1+ck12k2+...+c020

于是: ab=ack12k1ack22k2...ac020

又因为:a2i=(a2i1)2

所以我们很容易通过 k 次递推求出每个乘积项,当 ci=1 时,把该乘积项累积到答案中。b&1运算可以取出 b 在二进制表示下的最低位,而 b>>1 运算可以舍去最低位,在递推的过程中将二者结合,就可以遍历 b 在二进制表示下的所有数位 ci 。整个算法的时间复杂度为O(log2b)

代码实现:

int power(int a,int b,int p)
{
    int ans=1%p;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(long long)ans*a%p;
        a=(long long)a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

在上面的代码片段中,我们通过“右移(>>)”“与(&)”运算的结合,遍历了 b 的二进制表示下的每一位。在循环到第 i 次时(从0开始计数),变量 a 中存储的是 a2i ,若 b 该位为1,则把此时的变量 b 累积到答案 ans 中。

值得提醒的是,在C++语言中,两个数值执行算术运算时,以参与运算的最高数值类型作为基准,与保存结果的变量类型无关。换言之,虽然两个 32 位整数的乘积可能超过int类型的表示范围,但是 CPU只会用1个32位寄存器保存结果,造成我们常说的越界现象。因此,我们必须把其中一个数强制转换成64位整数类型 long long 参与运算,从而得到正确的结果。最终对 p 取模以后,执行赋值操作时,该结果会被隐式转换成 int 存回 ans 中。

posted @   Luvwgyx  阅读(356)  评论(0编辑  收藏  举报
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