AGC033D Complexity

Ex - Bow Meow Optimization

当$n,m$都为偶数时，记狗的正中为$x$，猫的正中为$y$（正中在序列中就处于两个位置之间，不与任何位置重合）

一只猫$i$到$x$隔了$C$只狗，那么这只猫对应的代价就为$B_i\times (\frac{n}{2}+C-(\frac{n}{2}-C))=B_i\times 2C$，狗的代价同理

那么对于$x$与$y$之间的$0$和$1$，它们随意交换位置都不影响$x$和$y$，所以我们可以将$x$到$y$的这段区间变为$x111...000y$，这时代价是最小的，然后我们发现，将$x$和$y$移动到$1$和$0$的交接处，重合，也是合法的

所以当$n,m$都是偶数时，其正中重合，也就是说，前一半序列中有$\frac{n}{2}$只狗和$\frac{m}{2}$只猫

当$n$或$m$有奇数时，让$x$左侧有$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$个$0$，$y$右侧有$\lfloor \frac{m}{2}\rfloor$个$1$，然后用上述方法，同样可以使得$x$和$y$重合

设$d_i$表示对于第$i$个位置上的$0$/$1$，其两侧$1$/$0$之差为多少，可以发现，在$x$与$y$重合的条件下，$\sum d_i$一定恒等于$n\times m$

证明：

考虑极端情况，序列呈$00...11.|.11...00$的分布情况，其中$|$表示$x$，$0$都集中在两端，$1$全部靠近$|$，此时的代价为$n\times m$

接下来，只需要证明，对于同一半内的相邻位置互换后，代价不变，大致分类讨论一下即可证得

因为$\sum d_i$恒定，所以要想$\sum A_i/B_i\times d_i$最小，就得让越大的$A_i/B_i$分配到越少的$d_i$

所以当$n$或$m$为奇数时，一定是将最大的那个$A_i/B_i$放到最中间，然后就可以将$n$和$m$都变为偶数

若$n\mathrm{\%}2==1$时，所有$1$的左/右边实际上会比将$n$变为偶数后的序列多一个$0$，所以所有的$1$的$d$都要$+1$（当$1$在左半部分时，其右边的$0$的数量一定$\ge$其左边的$0$的数量，所以现在其右边又多出一个$0$后，$d+1$，$1$在右半部分时同理），$m\mathrm{\%}2==1$同理。所以需要在一开始就给答案加上$\sum A_i$或$\sum B_i$

然后对所有$A_i$和$B_i$拉通，从大到小排序，考虑从最中间开始，贪心的放$0$/$1$，那么一定是一直向左放$0$直到达到数量上限，然后向右放，一直向右放$1$直到达到数量上限，然后向左放

向左放$0$/$1$时，其对应的代价就是$2A_i/2B_i\times$目前左边的$1$/$0$的数量；向右放同理

复杂度$O(NlogN)$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define plb pair<ll,bool>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N=305;
int n,m,cnt,l0,l1,r0,r1;
ll a[N],b[N],suma,sumb,ans;
plb c[N<<1];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&a[i]),suma+=a[i];
	for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%lld",&b[i]),sumb+=b[i];
	sort(a+1,a+n+1),sort(b+1,b+m+1);
	if(n&1) ans+=sumb; if(m&1) ans+=suma;
	for(int i=1;i<=(n>>1)<<1;++i) c[++cnt]={a[i]<<1,0};
	for(int i=1;i<=(m>>1)<<1;++i) c[++cnt]={b[i]<<1,1};
	sort(c+1,c+cnt+1),reverse(c+1,c+cnt+1);
	for(int i=1;i<=cnt;++i){
		if(c[i].se){
			if(r1<m>>1) ++r1,ans+=c[i].fi*r0;
			else ++l1,ans+=c[i].fi*l0;
		}else{
			if(l0<n>>1) ++l0,ans+=c[i].fi*l1;
			else ++r0,ans+=c[i].fi*r1; 
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}