约瑟夫环问题

转：https://blog.csdn.net/tingyun_say/article/details/52343897

讲一个比较有意思的故事：约瑟夫是犹太军队的一个将军，在反抗罗马的起义中，他所率领的军队被击溃，只剩下残余的部队40余人，他们都是宁死不屈的人，所以不愿投降做叛徒。一群人表决说要死，所以用一种策略来先后杀死所有人。 
于是约瑟夫建议：每次由其他两人一起杀死一个人，而被杀的人的先后顺序是由抽签决定的，约瑟夫有预谋地抽到了最后一签，在杀了除了他和剩余那个人之外的最后一人，他劝服了另外一个没死的人投降了罗马。

规则是这样的：

在一间房间总共有n个人（下标0～n-1），只能有最后一个人活命。

按照如下规则去杀人：

• 所有人围成一圈
• 顺时针报数，每次报到q的人将被杀掉
• 被杀掉的人将从房间内被移走
• 然后从被杀掉的下一个人重新报数，继续报q，再清除，直到剩余一人

特例：q为2

1. 共有2^k个人

我们仔细分析也就是每次除去一半的元素，然后剩余的一半继续重复之前的策略，再除去一半。

　　得到：j(2^k) = 1

2.共有2^k+t个人

例如n = 9时，当除掉一个人之后，就又构成了上一个问题（共有2^k个人），这时的第一个是除掉人的后一个。

 

此时，我们可以把3号看成新的约瑟夫问题中的1号位置：
也就是说这里的1代表的就是上一个问题中的3号

由此递推得出几轮

得到：J(2^k + t) = 2t+1

说完了特例，

现在说说q 不等于2的情况下：

 

 能不能由Jq(n+1)的问题缩小成为J(n)的问题：

现在大概知道我们的新的约瑟夫环的下标都是这样来的：

在旧的下标基础上，减去一个ｑ，再用计算出的结果对长度取余
　　new = (old-q) % n

　　反推一下：
　　old = (new+q) % n

解释的通俗一点就是：人数每次减少一个，最后剩下一个的时候他一定是被杀死的且一定为0，我们要求得是这个0是上一个约瑟夫环中的几号，这样一层一层向上求，求出在当前环中的号数。

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int yuesefu(int n,int m){
        if(n == 1){
                return 0; //这里返回下标,从0开始，只有一个元素就是剩余的元素0
        }
        else{
                return (yuesefu(n-1,m) + m) % n; //我们传入的n是总共多少个数
        }
}
int main(void){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<yuesefu(a,b)<<endl;
        //或者，直接循环迭代，求出来的result如上
        int result = 0;
        for(int i = 2;i <= a;i++){
                result = (result+b) %i;
        }
        cout<<"result = "<<result<<endl;
        return 0;
}