背包问题

01背包问题:每件物品只有一件，可以选择放或不放（即取0件或1件，故名01）

代码很短：

1、最多能创造多少价值？

初始化：

for(int v=0;v<=V;++v) d[v]=0;

代码：

for(int i = 0; i < N; i++)
for(int v = c[i] ; v < V; v++)
 d[i][v] = max{d[i-1][v], d[i-1][v-c[i]]+w[i]};

优化空间后的如下：

for(int i = 0; i < N; i++)
for(int v = V ; v >=c[i]; v--)
 d[v] = max{d[v], d[v-c[i]]+w[i]};

2、背包放满时，最多（最少）能创造多少价值？

这个问题的前提是背包必须要放满，所以我们的初始条件要改变，原来我们可以一件东西都不放，这是最大的价值是0，但在这个问题下是不允许的

所以只有在容量为0时最大价值为零，即d[0] = 0，将其他设为-∞，这样循环下来只有当包的容量恰好填满的时候d[v]才有值。

初始化：

d[0]=0;
for(int v=1;v<=V;++v) d[v]=-∞;

其他不变：

for(int i = 0; i < N; i++)
for(int v = V ; v >=c[i]; v--)
 d[v] = max{d[v], d[v-c[i]]+w[i]};

3、背包放满时，总共有多少种方案？

 

完全背包问题：完全背包中，每件物品可以放无穷件。

一些优化：

1.若两件物品i、j满 足Ci ≤ Cj且Wi ≥ Wj，则将可以将物品j直接去掉，不用考虑。 的O(N2)

2.首先将费用大于V 的物品去掉，然后使 用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可 以O(V + N)地完成这个优化O(V + N)

主要代码：

内层循环恢复正序，这样更新d[v]的时候就可以算上多次加入自己的情况

for(int i=1;i<=N;++i)
    for(int v=Ci;v<=V;++v) d[v]=max(d[v],d[v-Ci]+Wi);

多重背包问题