最大子序列和
一、遍历所有可能情况
(1234...N)所有可能子序列如下：
1；12；123......
2；23；234......
......
N
共N趟，没趟可能的情况由N，N-1...，1依次递减。
时间复杂度O(N3)的算法：
int MaxSubsequenceSum( const int A[ ] , int N)
{
int MaxSum = 0;
for(int i = 0; i < N; i++) //控制趟数为N
//每趟可能的子序列和有以下两个循环控制。
for(int j = i; j < N; j++) //控制每趟的开始位置
{
int sum = 0;
for(int k = j; k < N; k++)
{
sum += A[k];
if(sum > MaxSum)
MaxSum = sum;
}
}
return MaxSum;
}
二、时间复杂度O(N2)
不考虑程序跑的趟数，直接罗列所有情况
int MaxSum = 0;
for(i = 0; i < N; i++)
{
sum = 0;
for(j = i; j < N; j++)
{
sum += A[j];
if(MaxSum < sum)
MaxSum = sum;
}
return MaxSum;
}
三、相对复杂度O(N*logN)递归算法
分而治之：将问题分解为两个大小大致相等的子问题——分；两个子问题的解合并到一起并再做些少量附加工作，最后得到整个问题的解——治。
最大子序列可能出现的位置为数据的左半边，数据的右半边，数据的中部。
从概率论的角度来解读就是找出事件的完备事件组，将情况分为两类：1、包含中间元素；2、不含中间元素。其中不含中间元素又分左右侧两种情况。
int MaxSubsequenceSum( const int A[ ], int N)
{
return MaxSubSum(A, 0, N-1); //增加边界的参数
}
static int MaxSubSum( const int A[ ], left, right)
{
if(left == right)
if(A[left] > 0)
return A[left];
else return 0;
int center = (left + right)/2;
int MaxLeftSum = MaxSubSum(A, left, center);
int MaxRightSum = MaxSubSum(A, left, center);
int maxLeftSum = 0;
for(int i = center; i >= left; i--)
{
int leftSum += A[i];
if(maxLeftSum < leftSum)
maxLeftSum = leftSum;
}
int maxRight = 0;
for(int j = center; j <=right; j--)
{
int rigthSum += A[j];
if(maxRightSum < rightSum )
maxRightSum = rightSum;
}
return Max3(MaxLeftSum, MaxRightSum, maxRightSum+maxLeftSum);
}
int Max3(a,b,c)
{
return a > (b>c?b:c)?a:(b>c?b:c);
}
四、时间复杂度O(N)
1、如果sum<0，将sum置0，maxSum不更新，即maxSum从序列中首正数开始记录；
2、将求和的几个元素看做一个单元组，包含首正数的单元组中出现大于首正数时，更新maxSum，即maxSum=sum，此时maxSum存放当前最大子序列和；
3、当有负数出现时，sum<maxSum，maxSum不更新。当sum<0时，该单元组整体为一个负数，其后每个单元组包含该单元组都是负增长，故将sum置0，maxSum不更新；
int MaxSubsequenceSum( const int A[], int N)
{
int sum = 0; int maxSum = 0;
for(int i = 0 ; i < N; i++)
{
sum += A[i];
if(maxSum < sum)
maxSum = sum;
else if(sum < 0)
sum = 0;
}
return maxSum;
}
