[CF1534H] Lost Nodes题解

\(\text{CF3500}\)，你从没见过的船新 \(\text{DP}\)

前言

感谢同机房不屑发题解的大佬对我的教导。

在获得允许后加入自己理解写下此篇题解 以免大家被平衡树劝退

更好的阅读体验

题意

给你一棵 \(n\) 个点的树。你需要猜出树上的两个特殊节点 \(a,b\)（\(a\) 不一定与 \(b\) 不同）。首先，你会被告知一个整数 \(f\)，满足节点 \(f\) 是节点 \(a,b\) 之间的简单路径上的一点。接下来你可以进行询问，每次给定整数 \(r\)，交互器会给你当树的根节点为 \(r\) 时，节点 \(a,b\) 的最近公共祖先是哪个节点。 在给定树的形态之后，你需要先给出在所有 \(a,b,f\) 的可能的取值中，至少需要多少次询问才能保证得出特殊节点的编号。

一些性质

1. 交互库返回的是：\(path(a,b)\) 上离 \(r\) 最近的点。
2. 以 \(f\) 为根作为有根树来处理不影响问题的解决，\(a\) 和 \(b\) 除了在 \(f\) 算答案的时候独立，可以先单独处理 \(a\)

\(a,b\) 若不同则在 \(f\) 两子树内，互不干扰

3. 我们询问一定是询问叶节点，因为询问点 \(v\) 不优于 询问 \(v\) 子树内的任意一叶节点

记 \(u=fa_v\) ，首先 \(a\) 在 \(u\) 子树内

若 \(a\) 不在 \(v\) 子树内，询问 \(v\) 和叶节点效果相同，返回都是 \(u\)

若 \(a\) 在 \(v\) 子树内，询问 \(v\) 只能知道在 \(v\) 子树内，而询问叶节点不仅可以知道是在 \(v\) 子树内，还可能可以进一步确认 \(a\) 的位置。

Simple DP

我们发现我们的询问策略很诡异，直接询问叶节点，所以对于当前考虑的子树（除了根所代表的整棵树），一定在祖先的时候就询问过一个叶节点（恰好一个），也就排除了一个子树，这时我们只用考虑其他的子树。即我们可以不费代价地得到一个子树的信息，但代价必须提前算在叶节点上。

设 \(f_u\) 表示考虑 \(u\) 所代表的子树， \(a\) 在子树内，加上祖先向该子树叶节点的一次询问，需要确定 \(a\) 的位置的最小代价。

对于叶节点 \(u\) ， \(f_u=1\)

对于非叶节点 \(u\) ，若我们以 \(v_{0,1,2...}\) 的顺序访问其儿子

1. 若 \(a\) 不在 \(v_i\) 子树内，一次询问就可以知道
2. 若在 \(v_i\) 的子树内，因为我们有一次从祖先来的询问机会（让其询问 \(v_0\) 的子树的叶节点），所以只需要额外询问 \(i\) 次，而对于 \(v_i\) 子树内叶节点的询问次数又算到了 \(f_{v_i}\) 内。

所以转移方程：\(f_u=\max_{i=0} \{f_{v_i}+i\}\) 。

显然，我们把 \(v_i\) 按 \(f_{v_i}\) 从大到小排是最优的，同时我们可以维护 \(u\) 节点第一次询问：\(go_u=go_{v_0}\)

对于根节点统计答案，\(ans=\displaystyle\max_{0\le i<j < deg_f} f_{v_i}+f_{v_j}+j-1\)

即假设 \(a,b\) 分别 \(v_i,v_j\) 的子树内，对于 \(v_i\) 子树叶节点的询问已经算在了 \(f_{v_i}\) 内，所以从 \(j\) 中减掉。

此时我们可以 \(O(n^2)\) 的求出第一问，第二问用询问 \(go_u\) 不断地找到。

换根优化

发现转移跟儿子的排名（按 \(f\) 降序）是有关的，难道我们要平衡树了吗？那写个锤子

换根 \(DP\) 常用的方法是维护前后缀，然后换到儿子的时候就合并信息，对于此题显然也可以。

要注意维护后缀的时候 \(rank\) 要 \(-1\) ，然后就很 \(easy\) 了

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ri register int
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;
vector<int> ans,vec[maxn],to[maxn],pre[maxn],saf[maxn];
int f[maxn],go[maxn],pa[maxn];
inline bool cmp(const int &x,const int &y){return f[x] > f[y];}
void dfs(int u,int fa){
	vec[u].resize(0); pa[u] = fa;
	for(ri v : to[u]) if(v != fa) dfs(v,u),vec[u].pb(v);
	if(!vec[u].size()){go[u] = u,f[u] = 1;return;}
	sort(vec[u].begin(),vec[u].end(),cmp);
	go[u] = go[vec[u][0]],f[u] = 1;
	int cnt = -1;
	for(ri v : vec[u]) ++cnt,f[u] = max(f[u],f[v] + cnt);
}
inline int getans(int x){
	int ans = 0;
	for(ri i = 1;i < (int)vec[x].size();++i) ans = max(ans,f[vec[x][i]] + i - 1);
	ans += f[vec[x][0]];return ans;
}
void rdfs(int u,int fa){
	vec[u] = to[u],sort(vec[u].begin(),vec[u].end(),cmp),ans[u-1] = getans(u);
	int m = vec[u].size(); pre[u].resize(m),saf[u].resize(m);
	for(ri i = 0;i < m;++i) pre[u][i] = f[vec[u][i]] + i;
	for(ri i = 1;i < m;++i) pre[u][i] = max(pre[u][i-1],pre[u][i]);
	for(ri i = m - 1;i >= 0;--i) saf[u][i] = f[vec[u][i]] + i - 1;
	for(ri i = m - 2;i >= 0;--i) saf[u][i] = max(saf[u][i+1],saf[u][i]);
	for(ri i = 0,v;i < m;++i)
		if((v = vec[u][i]) != fa){
			f[u] = 1;
			if(i) f[u] = max(f[u],pre[u][i-1]); if(i < m-1) f[u] = max(f[u],saf[u][i+1]);
			rdfs(v,u);
		}
}
inline int query(int x){
	cout<<"? "<<x<<endl;
	int res; cin>>res; return res;
}
inline int get(int x){
	if(go[x] == x) return x;
	for(ri i = 1;i < (int)vec[x].size();++i){
		int v = go[vec[x][i]],res = query(v);
		if(res != x) return get(res);
	}
	return x;
}
inline void solve(){
	int a = 0,b = 0,x; cin>>x;
	dfs(x,x);
	for(ri v : vec[x]){
		int res = query(go[v]);
		if(res == x) continue;
		if(!a) a = get(res);
		else b = get(res);
		if(b) break;
	}
	if(!a) a = x; if(!b) b = x;
	cout<<"! "<<a<<' '<<b<<endl;
}
inline void init(){
	int n; cin>>n;
	for(ri i = 1,u,v;i < n;++i) cin>>u>>v,to[u].pb(v),to[v].pb(u);
	if(n == 1){puts("0");puts("! 1 1");return;}
	ans.resize(n); dfs(1,1); rdfs(1,1);
	int lans = 0; for(ri it : ans) lans = max(lans,it);
	cout<<lans<<endl;
	solve();
}
int main(){
	init();
}