P4067 [SDOI2016]储能表 题解

题意

给定$n$、$m$、$k$、$p$，在模 $p$ 意义下计算

$$\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{m-1} \mathrm{max} ((i \mathrm{xor} j)-k,0)$$

$T$ 组测试
$T = 5000$，$n \leq 10 ^ {18}$，$m \leq 10 ^ {18}$，$k \leq 10 ^ {18}$，$p \leq 10 ^ 9$

题解

$\text{trick：}$把 $\sum \mathrm{max} (a-k,0)$ 变为 $(\sum [a\ge k]a)-(\sum [a\ge k])\cdot k$
我们考虑 $\mathrm{xor}$ 的特性是位之间独立，题目限制也只有数的大小，所以我们考虑数位 $DP$ 。

问题等价于找到 $(i,j)$满足$i \mathrm{xor} j \ge k$ 的 $(i,j)$ 对数和 $i \mathrm{xor} j$ 的和，$i$ 与 $j$ 显然要同时 $DP$

因为这里统计的对象是 $i \mathrm{xor} j$ ，且它与 $i$ ,$j$,分别有限制，所以我们要额外记三个信息。
设 $f_{i,l1,l2,l3}$ 为不考虑前 $i$ 位的贡献，前 $i$ 位是否卡到 $n-1$ 的上界、是否卡到 $m-1$ 的上界，$xor$ 是否卡到 $k$ 的下界。然后分别枚举 $i$ 与 $j$ 在这一位填什么，把算出低位的贡献和个数后用个数乘上这一位的贡献

总结

1. 要从贡献在数位之间独立看出来是数位 $DP$
2. 要把 $\text{max}$ 转化掉
3. 要想到同时 $DP$ $i,j,i xor j$