CF1065E Side Transmutations 题解

题面

考虑一个字符集合\(A\)（\(A\)中元素互不相同）和一个长度为\(n\)的字符串\(S\)，其中\(S\)中的字符都属于集合\(A\)。

给你一个包含 \(m\) 个整数的序列 \(b\) (\(b_1\le b_2\le\dots\le b_m\))。你可以对字符串 \(S\) 作以下的操作：

1.选择一个合法的 \(i\) ,并且令 \(k=b_i\) ;

2.取出 \(S\) 中前 \(k\) 个字符 \(Pr_k\) ;

3.取出 \(S\) 中后 \(k\) 个字符\(Su_k\) ;

4.将 \(S\) 中前 \(k\) 个字符替换成翻转后的 \(Su_k\) ;

5.将 \(S\) 中后 \(k\) 个字符替换成翻转后的 \(Pr_k\) ;

这个操作可以被执行许多次（可能是零次），任何一个 \(i\) 也可以被使用多次。

我们将字符串 \(S\) 和 \(T\) 称为相等的字符串，当且仅当存在一个操作序列，将字符串 \(S\) 变成 \(T\)。注意到 \(S\) 和它自己也是相等的。
你的任务很简单，数出互不相同的字符串的个数 \(\mod998244353\) 的结果。

题解

组合法

首先发现，\((b_{i-1},b_i]\) 这些段可以相互独立地与左边对应区间去交换，所以贡献独立
考虑其中一个长度为 \(len\) 的区间
若两边对称，方案数为 \(|A|^{len}\)
若两边不对称，方案数为 \(\frac{|A|^{len}\times (|A|^{len}-1)}{2}\)
对于中间没法变换到的自然随便选，贡献为 \(|A|^{n-2\cdot b_m}\)

Ploya

先咕着，以后填