浅谈矩阵树定理及其应用(Matrix-Tree)

矩阵树定理

用途：解决生成树(树形图)计数问题。

前置知识

矩阵初等变换

1. 交换两行/两列，$Det$乘$-1$
2. 某一行乘$c$，$Det$乘$c$

行列式

高斯消元求行列式

柯西-比内公式

有一个$n\cdot m$的矩阵$A$和$m\cdot n$的矩阵$B$，令$n\le m$
$Det(AB)=\sum\limits_{S}Det(A_S)\cdot Det(B_S)$，其中$S$表示集合{1,2,3...m}的一个大小为$n$的子集合，$A_S$表示$A$保留$S$中的$n$列的子矩阵，$B_S$表示保留$S$中的$n$行的子矩阵

结论

无向图，度数矩阵-邻接矩阵，随便求一个主子式
外向树，入度-邻，去掉根所在的那一行一列
内向树，出度-邻，去掉根所在的那一行一列
记 $K$ 为度数矩阵 $-$ 邻接矩阵，

$$Det(K)=\sum\limits_{T}\prod_{e_i\in T} w_{e_i}$$

无向无边权图的矩阵树证明

记 $L$ 为基尔霍夫矩阵(拉普拉斯矩阵):无向图的度数矩阵$-$邻接矩阵

1. $L$中行的和为$0$，列的和为$0$
2. $Det(L)$为$0$(高斯消元到最后一行只有一个数可以非零，并且这一行和为 $0$ )

记$L_{1,1}$为$L$去掉第$1$行第$1$列的主子式，$Det(L_{1,1})$就是生成树个数
下面的大点、小点均表示这条边连接的两个点的标号大小
构造关系矩阵$B$:

$$B_{i,j}=\left\{ \begin{aligned} 1 & & {v_i\ 与\ e_j\ 相连,v_i\ 标号比\ e_j连接的另一点小}\\ -1 & & {v_i\ 与\ e_j\ 相连,v_i\ 标号比\ e_j连接的另一点大}\\ 0 & &{otherwise}\\ \end{aligned} \right.$$