浅谈矩阵树定理及其应用(Matrix-Tree)
矩阵树定理
用途：解决生成树(树形图)计数问题。
前置知识
矩阵初等变换
- 交换两行/两列，\(Det\)乘\(-1\)
- 某一行乘\(c\)，\(Det\)乘\(c\)
行列式
高斯消元求行列式
柯西-比内公式
有一个\(n\cdot m\)的矩阵\(A\)和\(m\cdot n\)的矩阵\(B\)，令\(n\le m\)
\(Det(AB)=\sum\limits_{S}Det(A_S)\cdot Det(B_S)\)，其中\(S\)表示集合{1,2,3...m}的一个大小为\(n\)的子集合，\(A_S\)表示\(A\)保留\(S\)中的\(n\)列的子矩阵，\(B_S\)表示保留\(S\)中的\(n\)行的子矩阵
结论
无向图，度数矩阵-邻接矩阵，随便求一个主子式
外向树，入度-邻，去掉根所在的那一行一列
内向树，出度-邻，去掉根所在的那一行一列
记 \(K\) 为度数矩阵 \(-\) 邻接矩阵，
\[Det(K)=\sum\limits_{T}\prod_{e_i\in T} w_{e_i}
\]
无向无边权图的矩阵树证明
记 \(L\) 为基尔霍夫矩阵(拉普拉斯矩阵):无向图的度数矩阵\(-\)邻接矩阵
- \(L\)中行的和为\(0\)，列的和为\(0\)
- \(Det(L)\)为\(0\)(高斯消元到最后一行只有一个数可以非零，并且这一行和为 \(0\) )
记\(L_{1,1}\)为\(L\)去掉第\(1\)行第\(1\)列的主子式，\(Det(L_{1,1})\)就是生成树个数
下面的大点、小点均表示这条边连接的两个点的标号大小
构造关系矩阵\(B\):
\[ B_{i,j}=\left\{
\begin{aligned}
1 & & {v_i\ 与\ e_j\ 相连,v_i\ 标号比\ e_j连接的另一点小}\\
-1 & & {v_i\ 与\ e_j\ 相连,v_i\ 标号比\ e_j连接的另一点大}\\
0 & &{otherwise}\\
\end{aligned}
\right.
\]
