HNOI2013 游走
题意
\(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图,从 \(1\) 号点开始,每次从出边中随机选一条走,到 \(n\) 号点结束。每次经过一条边权值加上这条边的编号。要求给边从 \(1\) 到 \(m\) 标号,使得期望权值最小。
\(n\le 500,m\le125000\)
题解
两个很有用的 \(trick\) 就把这道题化繁为简了:
- 用期望的线性性,将总期望转为求每条边被经过的期望次数。
- 将边被经过的期望次数转为端点被经过的期望次数
然后就是很普通的期望 \(dp\) ,设 \(f_u\) 为 \(u\) 被经过的期望次数, \(d_u\) 为 \(u\) 的度数:
\[\begin{align*}
&f_{u}=\sum\limits_{v\in \{v|(v,u)\in E 且 v\neq n\}} \frac{f_{v}}{d_u}\\
&f_1=1+\sum\limits_{v\in \{v|(v,1)\in E 且 v\neq n\}} \frac{f_{v}}{d_u}
\end{align*}
\]
\(n\leq500\) 高斯消元即可。然后 \(E((u,v))=\frac{f_u}{d_u}+\frac{f_v}{d_v}\) ,\(d_u\) 表示 \(u\) 点的度数。把边按期望排序然后编号即可。
- 注意 \(n\) 对与其相连的边没有贡献
留坑:为啥这道题矩阵一定可以消出来?是仅数据保证还是构造矩阵时就已保证?
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 510;
double a[maxn][maxn];
int n,m,du[maxn],ok[maxn][maxn];
struct edge{
int u,v;
double E;
friend bool operator <(edge x,edge y){return x.E > y.E;}
}e[maxn*maxn];
inline int rd(){
int res = 0,f = 0;
char ch = getchar();
for(;!isdigit(ch);ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
for(;isdigit(ch);ch = getchar()) res = (res<<3) + (res<<1) + ch - 48;
return f ? -res : res;
}
void gause(){
for(ri i = 1;i <= n;++i){
int pos;
for(ri j = i;j <= n;++j) if(a[j][i] != 0) {pos = j;break;}
if(pos ^ i) swap(a[pos],a[i]);
double l = a[i][i];
for(ri j = i;j <= n+1;++j) a[i][j] /= l;
for(ri j = 1;j <= n;++j)
if(j != i){
l = a[j][i];
for(ri k = i;k <= n+1;++k)
a[j][k] -= l * a[i][k];
}
}
}
int main(){
n = rd(),m = rd();
for(ri i = 1,u,v;i <= m;++i){
u = rd(),v = rd(),ok[u][v] = ok[v][u] = 1;
e[i].u = u,e[i].v = v,du[u]++,du[v]++;
}
for(ri i = 1;i <= n;++i){
a[i][i] = -1;
for(ri j = 1;j < n;++j)
if(ok[j][i]) a[i][j] = 1.0 / du[j];
if(i == 1) a[i][n+1] = -1;
}
gause();
for(ri i = 1;i <= m;++i){
int u = e[i].u,v = e[i].v;
e[i].E = 0;
if(u != n) e[i].E += a[u][n+1] / du[u];
if(v != n) e[i].E += a[v][n+1] / du[v];
}
sort(e + 1,e + m + 1);
double ans = 0;
for(ri i = 1;i <= m;++i) ans += e[i].E * i;
printf("%.3lf\n",ans);
return 0;
}