学习笔记 - 扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法 -学习笔记

考前复习一些数论知识，快忘完了……感觉像之前没学过一样QwQ

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◌ 欧几里得算法

(应该都会，就不讲太多了)

求两整数 a,b 的最大公约数（gcd(a,b)），别称是辗转相除法。

主要结论：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) ；另外当 b=0 时，gcd(a,b)=a

递归伪代码：

int GCD(a,b){
    IF b不为0
        return GCD(b,a%b);
    ELSE
        return a;
}

　　

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◌ 扩展欧几里得算法

它是用来解决“一类二元方程：ax+by=gcd(a,b) 的解”的问题的。

接下来我们就来推导一下这个算法（建议reader们自己推一推，感觉不太好记）：

ax+by=gcd(a,b) --------------------------------------------------------①

根据欧几里得算法，gcd(b,a%b)=gcd(a,b) （%作mod，下同）

令二元同余方程 bx+(a%b)y=gcd(b,a%b) ------------------------------②

令 ①②的解分别为 (x₁,y₁) (x₂,y₂)

则有 ax₁ + by₁ = gcd(a,b) = gcd (b,a%b) = bx₂ + (a%b)y₂

（感性认知一下）因为 a%b = a - floor(a/b)*b （floor(x)表示x向下取整）

所以 bx₂ + (a%b)y₂ = bx₂ + [a - floor(a/b)*b]y₂ 

按 a,b 为主元分别整理可得：bx₂ + (a%b)y₂ = bx₂ + ay₂ - floor(a/b)*by₂ = ay₂ + b[x₂ + floor(a/b)y₂] 

又因为 bx₂ + (a%b)y₂ = ax₁ + by₁

所以 ay₂ + b[x₂ + floor(a/b)y₂] = ax₁ + by₁ ；

一一对应关系，至少存在一组解，使得 x₁ = y₂ 且 y₁ = x₂ + floor(a/b) y₂

简单的，当 b=0 时，存在解为 (1,0)。

这样的话我们就可以利用欧几里得算法的框架来求解 “ax+by=gcd(a,b)”：

 

//ll 是 long long 
ll EXTGCD(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ //必须加上取址符"&"
	if(!b){
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	ll _x,_y;
	ll gcd=EXTGCD(b,a%b,_x,_y);
	x=_y;y=_x-a/b*_y; //根据 bx+(a%b)y=gcd(b,a%b) 的解求 ax+by=gcd(a,b)的解
	return gcd;
}

 

顺便还能求gcd(a,b) ~

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简单题：POJ 青蛙的约会

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The End

Thanks for Reading!

(存在疑问的reader们可以在邮箱-lucky_glass@foxmail.com里问我(/▽＼))