【杂题总汇】NOIP2013(洛谷P1967) 货车运输
【洛谷P1967】 货车运输
重做NOIP提高组ing...
◇ 题目(copy from 洛谷)
题目描述
A国有n座城市，编号从1到n，城市之间有m条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有q辆货车在运输货物，司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。
输入输出格式
输入格式：
第一行有两个用一个空格隔开的整数n,m，表示A国有n座城市和m条道路。
接下来 mm行每行3个整数x, y, z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从x号城市到y号城市有一条限重为z的道路。注意：x不等于y，两座城市之间可能有多条道路 。
接下来一行有一个整数q，表示有q辆货车需要运货。
接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市，注意： x 不等于 y 。
输出格式：
共有q行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地，输出−1。
输入输出样例
输入样例#1：
4 3
1 2 4
2 3 3
3 1 1
3
1 3
1 4
1 3
输出样例#1：
3
-1
3
◇ 解析
算是一道比较经典的题目了吧……NOIP还是有很多好题的
根据题目我们可以知道我们的目的是找一条从x到y的路径，使得路径上的最小值最大。找路径……树剖，Dijkstra，SPFA，LCA（搜索就别想了），然后我们发现LCA是里面最好写的😊（看起来树剖也可以，但是并不想写线段树，调试很麻烦）。
很容易想到尽量走大的边。根据这个思路，我们可以通过贪心进一步得出重边（注意题目有重边）时，取较大的一条。由于这是一个有多个连通块的图，我们单独考虑一个连通块：
现在我们相当于要选择该连通块的一些边，使得连通块内的点能够互相到达，且选择的边的最小值尽量大——就是一个最大生成树！
为什么是一棵树呢？——因为树的每一个节点都互相连通，并不破坏原来连通块的结构，且每个节点都只会选择以它为端点的一条边（多次经过同一个点没有意义），就相当于每个节点有唯一父亲（根节点除外），这样也就形成了树的结构。
为什么生成最大？——最大生成树的选择方案一定是所有选择方案（合法的）中尽可能大的一个，即其他方案的最小边必然小于等于最大生成树的最小边，根据贪心的思路判定最大生成树更优。
那么现在就非常明显了，可以用Kruskal算法来做，对于每个连通块都建立一棵最大生成树。听起来很麻烦？其实操作的时候并不需要考虑每个连通块，直接像生成一个连通图的最大生成树这样对于题目所给的图生成树就可以了——因为不同的连通块所属的并查集也不一样，不会互相影响。只是说现在不一定要选择(n-1)条边了，可能要少一些。如果直接这样想的话我们会生成一个无根树，这样不能用LCA，于是就把树中编号最小节点作为根节点。
接下来就是处理出 LCA 所需要的 fa[u][k]:节点u的第 2^k 辈祖先（空为0）和 dep[u]:节点u的深度，当然对于这道题，我们还需要再加上一个数组 MinEdg[u][k]:从u到u的第 2^k 辈祖先的路径上的最小边。先用一个DFS可以处理出 fa[i][0],dep[i]以及MinEdg[i][0]，即父亲、深度以及从父亲到儿子的边权。再对于每个节点处理出 fa,MinEdg ，fa的处理就不讲了（LCA基础，可以先学一学再看），MinEdg的处理类似与fa—— u->fa[u][k] 分成 u->fa[u][k-1] 和 fa[u][k-1]->fa[u][k]，则 MinEdg[u][k]=min(MinEdg[u][k-1],MinEdg[fa[u][k-1]][k-1])。（啊哈？😝）
然后就是LCA的操作了，这里重点讲MinEdg怎么转换到答案Min。（默认u比v深）在把u移动到v的同一层时，更新 Min=min(Min,MinEdg[u][i])，这样就把u移动到与v同层的路径的最小值统计出来了。接下来u,v一起移动，则 Min 同时要根据 u 和 v 的移动更新——Min=min( Min,min(MinEdg[u][i],MinEdg[v][i]) )。最后非常重要的一点😮，我们只会把u,v移动到它们的LCA的下面一层，u->v的路径实际上还有 u->LCA 和 LCA->v ，即 MinEdg[u][0] 和 MinEdg[v][0] ，所以最后 Min=min(Min,min(MinEdg[u][0],MinEdg[v][0]))。
结束了？别忘了判断一下u和v是否在同一个连通块里，可以用并查集，但是作者用的是找LCA，如果LCA为0，则u,v不连通。
◇ 源代码
/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int M=50000,N=10000;
struct ROAD { //存储原图上的边
int u,v,wgt; //两个端点u,v和权值wgt
bool operator <(const ROAD ano)const {
return wgt>ano.wgt; //按边权从大到小排序
}
} way[M+5];
int n,m,q,INF;
int pre[N+5],dep[N+5],fa[N+5][25],MinEdg[N+5][25];
vector< pair<int,int> > lnk[N+5]; //生成树后的连通关系（邻接表）
int FindPre(int u) { //并查集
if(pre[u]==u) return u;
return pre[u]=FindPre(pre[u]);
}
void DFS(int u,int _fa,int _dep) {
fa[u][0]=_fa;
dep[u]=_dep; //直接计算fa,dep
for(int i=0; i<lnk[u].size(); i++) {
int v=lnk[u][i].first,wgt=lnk[u][i].second;
if(v==_fa) continue;
MinEdg[v][0]=wgt; //MinEdg[v][0] 就是从u->v的边
DFS(v,u,_dep+1);
}
}
void Prepare() {
memset(MinEdg,0x3f,sizeof MinEdg); //赋极大值
INF=MinEdg[0][0];
for(int i=1; i<=n; i++)
if(!dep[i]) //即没有访问过，是一个新的连通块
DFS(i,0,1),
MinEdg[i][0]=INF; //树的根没有向上的边，赋值INF
for(int j=1; j<=20; j++)
for(int i=1; i<=n; i++)
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1],
MinEdg[i][j]=min(MinEdg[fa[i][j-1]][j-1],MinEdg[i][j-1]);
//把2^k分成两段2^(k-1)计算
}
pair<int,int> LCA(int u,int v) { //第一个返回值为LCA的编号，第二个返回值是路径的最小边
if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
int Min=INF;
for(int i=20; i>=0; i--) //之前写反了，一直过不了自己出的数据……
if(dep[fa[u][i]]>=dep[v])
Min=min(Min,MinEdg[u][i]),
u=fa[u][i];
if(u==v)
return make_pair(u,Min);
for(int i=20; i>=0; i--)
if(fa[u][i]!=fa[v][i])
Min=min(Min,min(MinEdg[u][i],MinEdg[v][i])),
u=fa[u][i],
v=fa[v][i];
Min=min(Min,min(MinEdg[u][0],MinEdg[v][0])); //★important
return make_pair(fa[u][0],Min);
}
int main() {
freopen("truck.in","r",stdin);
freopen("truck.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0; i<m; i++)
scanf("%d%d%d",&way[i].u,&way[i].v,&way[i].wgt);
sort(way,way+m);
for(int i=1; i<=n; i++) pre[i]=i;
for(int cnt=1,i=0; cnt<n && i<m; i++) { //Kruskal，不一定要有n-1条边，如果边枚举完就退出
int A=FindPre(way[i].u),B=FindPre(way[i].v);
if(A!=B)
pre[A]=B,
lnk[way[i].u].push_back(make_pair(way[i].v,way[i].wgt)),
lnk[way[i].v].push_back(make_pair(way[i].u,way[i].wgt)); //建立新图
}
Prepare();
scanf("%d",&q);
while(q--) {
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
pair<int,int> res=LCA(u,v);
if(res.first) printf("%d\n",res.second); //判断连通
else printf("-1\n");
}
return 0;
}
The End
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- Lucky_Glass
