「postOI」Lost Array

题意

有一个序列 $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$，按如下方式构造一个 $(n+1)\times (n+1)$ 的矩阵 $B$：

• $B_{i0}=0$（$0\le i\le n$）；
• $B_{0i}=a_i$（$1\le i\le n$）；
• $B_{ij}=B_{(i-1)j}\text{ xor }{B}_{i(j-1)}$（$1\le i,j\le n$）。

现在给出 $B_{1n},B_{2n},...,B_{nn}$（也就是最后一列，但是没有 $B_{0n}$），求出 $A$。

$n\le 5\times {10}^5$

解析

题目给出的是 $B$ 的递推式，我们希望得到计算式，换句话说，我们希望直接得到 $B_{in}$ 只与 $A$ 有关的表达式。

倒过来想，考虑 $a_i$ 对 $B_{jn}$ 的贡献。由于是异或，$a_i$ 只可能贡献 $a_i$ 或 $0$。

那具体贡献多少？我们可以把问题具象化，$B$ 的递推式相当于是“向左走一步或向上走一步”。那么只需要判断从 $B_{jn}$ 走到 $B_{0i}$ 的方案数是奇数还是偶数。这里有一个小细节——“走到 $B_{0i}$ 就结束了，不能继续走到 $B_{0(i-1)}$”，这个细节相当于说最后一步一定是向上的。

这样我们就可以通过组合数算出 $B_{jn}$ 到 $B_{0i}$ 的方案数：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{(n-i)+(j-1)}{j-1})$$

这样并不好看，我们设 $a_i^{\prime }=a_{n-i}$，$b_i=B_{i+1,n}$。那么 $a_i^{\prime }$ 对 $b_j$ 的贡献只需要看 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+j}{j})$ 的奇偶性。关于组合数的奇偶性，结论如下：

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})$ 为奇数当且仅当 $a\text{ and }b=b$。

也就是说 $a_i^{\prime }$ 对 $b_j$ 有贡献当且仅当 $(i+j)\text{ and }j=j$ 等价于 $i\text{ and }j=0$。

$$b_j=\underset{i\text{ and }j=0}{⨂}{a}_i^{\prime }$$

似乎有一个做法，如果把 $j$ 取个补集，那条件不就是 $i\in j$（$i\text{ and }j=i$），那么

$$b_j^{\prime }=\underset{i\in j}{⨂}{a}_i^{\prime }$$

这 $b^{\prime }$ 不就是 $a^{\prime }$ 做了或卷积 FWT 的结果吗？然而，由于 $n$ 未必是 $2$ 的整次方，$b_0^{\prime },b_1^{\prime },...,b_{n-1}^{\prime }$ 中有几项我们不知道。这个方法就这么废了……

我们再考虑一下 $i\text{ and }j$ 能怎么处理——容斥？我们钦定 $i$ 对应的二进制位全为 $1$，即 $i\text{ and }j=i$，记为 $c_i$：

$$c_i=\underset{i\in j}{⨂}{a}_j^{\prime }$$

则由容斥可得下式（容斥的正负系数在异或中没有意义）

$$b_i=\underset{j\in i}{⨂}{c}_j$$

唔，看起来好像没什么区别，还更麻烦了？先分析一下，由于 $c_i$ 是计算 $i$ 的超集的异或和，那么当 $i\ge n$ 时，$c_i=0$。于是我们只需要计算 $c_0,c_1,...,c_{n-1}$，那么我们可以通过 $b$ 计算出这些结果吗？

当然是可以的——因为这是或卷积的 fwt，计算 $b_i$ 只需要用到 $j\le i$ 的 $c_j$，那么就可以通过 $b_{0(n-1)}$ 做一遍或卷积 fmt 求出 $c_{0(n-1)}$。

最后再用完整的 $c$ 做一遍与卷积 fmt 求得 $a^{\prime }$。

源代码

Copy#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int MAXN = (int)5e5 + 10;
int len, lg2_len;
int arr[MAXN];
void fwtOr()
{
    for (int i = 0; i <= lg2_len; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < len; ++j)
        {
            if (j & (1 << i))
            {
                arr[j] ^= arr[j ^ (1 << i)];
            }
        }
    }
}
void fwtAnd()
{
    for (int i = 0; i <= lg2_len; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < len; ++j)
        {
            if (j & (1 << i))
            {
                arr[j ^ (1 << i)] ^= arr[j];
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d", &len);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
    {
        scanf("%d", &arr[i]);
    }
    while ((1 << lg2_len) < len)
    {
        ++lg2_len;
    }
   
    fwtOr();
    fwtAnd();
    for (int i = 1; i < len; ++i)
    {
        printf("%d ", arr[len - i]);
    }
    printf("%d\n", arr[0]);
    return 0;
}