「postOI」以另一种方式证明 FWT

记号

• $\otimes$ 代表或/与/异或卷积；
• $\oplus$ 代表“拼接”，例如 $A\oplus B$ 即将 $B$ 接在 $A$ 的后面；
• $+,-,\times$ 代表按位运算，例如 $A+B=\{a_0+b_0,a_1+b_1,...,a_n+b_n\}$；
• $F(A)$ 代表 $A$ 进行 fwt 后的序列；
• $A_0$ 代表 $A$ 的前半部分，$A_1$ 代表 $A$ 的后半部分，$A_0\oplus A_1=A$

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或卷积

直接给出或FWT的递归形式：

$$F(A)=\{\begin{array}{ll}F(A_0)\oplus F(A_0+A_1)& |A|>1\\ A& |A|=1\end{array}$$

接下来是一些性质：

• $F(A+B)=F(A)+F(B)$，这一点比较明显；
• $F(A\otimes B)=F(A)\times F(B)$，直接证明比较麻烦，我们考虑归纳证明。

易知在 $|A|=|B|=1$ 时，上述结论成立。

假设已经证明了对于 $|A|=|B|=\frac{n}{2}$ 上述结论成立，下证对于 $|A|=|B|=n$ 成立。

首先一个简单的分析——考虑 $A_0$ 和 $A_1$，其实下标上只有最高位上 $A_0$ 是 $0$，$A_1$ 是 $1$ 的区别。然后我们再考虑 $(A\otimes B{)}_0$，既然是或卷积，最高位是 $0$，那肯定参与的下标都是最高位为 $0$，也即

$$(A\otimes B{)}_0=A_0\times B_0$$

稍微复杂的是 $(A\otimes B{)}_1$，要求最高位至少有一个 $1$，也就是说

$$(A\otimes B{)}_1=A_0\otimes B_1+A_1\otimes B_0+A_1\otimes B_1$$

有了以上的结论就可以完成或卷积性质的证明了：

$$\begin{array}{rl}F(A\otimes B)& =F[(A\otimes B{)}_0]\oplus F[(A\otimes B{)}_0+(A\otimes B{)}_1]\\ & =F(A_0\otimes B_0)\oplus F(A_0\otimes B_0+A_0\otimes B_1+A_1\otimes B_0+A_1\otimes B_1)\\ & =[F(A_0)\times F(B_0)]\oplus [F(A_0+A_1)\times F(B_0+B_1)]\\ & =[F(A_0)\oplus F(A_0+A_1)]\times [F(B_0)\oplus F(B_0+B_1)]& \text{(按位运算)}\\ & =F(A)\times F(B)\end{array}$$

与卷积与或卷积相同。

异或卷积

同样的，我们可以得到

$$\begin{array}{c}(A\otimes B{)}_0=A_0\otimes B_0+A_1\otimes B_1\\ (A\otimes B{)}_1=A_0\otimes B_1+A_1\otimes B_0\end{array}$$

然后给出异或FWT的递归式：

$$F(A)=\{\begin{array}{ll}F(A_0+A_1)\oplus F(A_0-A_1)& |A|>1\\ A& |A|=1\end{array}$$

接下来是类似的归纳推导：

$$\begin{array}{rl}F(A\otimes B)& =F[(A\otimes B{)}_0+(A\otimes B{)}_1]\oplus F[(A\otimes B{)}_0-(A\otimes B{)}_1]\\ & =F(A_0\otimes B_0+A_1\otimes B_1+A_0\otimes B_1+A_1\otimes B_0)\oplus F(A_0\otimes B_0+A_1\otimes B_1-A_0\otimes B_1-A_1\otimes B_0)\\ & =[F(A_0+A_1)\times F(B_0+B_1)]\oplus [F(A_0-A_1)\times F(B_0-B_1)]\\ & =[F(A_0+A_1)\oplus F(A_0-A_1)]\times [F(B_0+B_1)\otimes F(B_0-B_1)]\\ & =F(A)\times F(B)\end{array}$$

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小记

之前推导 FWT 是正向的构造，虽然构造非常巧妙，但是不太好理解。尤其是异或卷积利用到“异或后二进制位 1 的个数的奇偶性不变”这种虽然明显，但并不好用的性质。

现在能找到一种用归纳法证明 FWT 的方式，感觉非常直接，所以记下来了。