「SOL」行列式 (模拟赛)

1. 题面

有一个大小为 $n$ （ $n \leq 10^{6}$ ）的方阵 $A$ ，给定 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \dots, d_{n}$ ， $(p_{2}, b_{2}, c_{2}), (p_{3}, b_{3}, c_{3}), \dots, (p_{n}, b_{n}, c_{n})$ 以及 $x$ 。其中保证 $p_{i} < i$ 。 $A$ 满足：

A_{i j} = {\begin{cases} d_{i} & i = j \\ b_{i} & i = p_{j} \\ c_{i} & j = p_{i} \\ x & o t h e r w i s e \end{cases}

求 $A$ 的行列式对 $(10^{9} + 7)$ 取模的结果。

2. 解析

2.1. 拆分矩阵

和另外一道题很像……方阵的大多数位置都是 $x$ ，可以想到分离出一个全为 $x$ 的方阵 $B$ ——

A = A^{'} + B

于是可以得到一个稀疏方阵 $A^{'}$ 。

考虑行列式 $| M |$ 的定义：枚举一个排列 $(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n})$ ，贡献为 $(- 1)^{π (q)} \prod M_{i, q_{i}}$ 。这道题就是：

\sum_{q} (- 1)^{π (q)} \prod_{i} (A_{i, q_{i}}^{'} + B_{i, q_{i}})

2.2. 树的情况

不妨先假设 $x = 0$ ，则只考虑 $A^{'}$ 对行列式的贡献。根据题意， $A^{'}$ 是个有值的位置关于主对角线对称的方阵，这像什么？一棵树的邻接表？具体的说，是一棵每条边都有正反向且每个点有自环的“树”。

于是我们尝试把行列式的求解搬到树上来。行列式计算时可以看作每行每列恰好选一个元素，那么选择的 $A_{i, q_{i}}^{'}$ 相当于选择了树上的一条边，由于每行每列恰选一个元素，所以每个点的出入度都为 $1$ —— 每个点都属于一个简单有向环。

这样的“树”上，有向环只可能是父亲与儿子的二元环以及自环。我们可以做一个树形 DP 来把每个点划分到一个环中并计算贡献。但还有一个问题，行列式还有 $(- 1)^{π (q)}$ 的系数，需要进行一些转化。

$π (q)$ 的奇偶性和「交换任意两个数，将 $q$ 变为有序的操作次数」的奇偶性相同。考虑在树上合法的排列 $q$ 的性质，我们刚才提到把树划分成若干个环，环在排列（这里用一下置换里的一些定义）里就是一个循环。要把一个排列操作为有序只需要让它的每个循环都有序，注意到一个长为 $L$ 的循环我们可以通过 $L - 1$ 次操作把它变为有序；所以 $π (q)$ 的奇偶性就和「偶环个数」的奇偶性相同。

更进一步的， $π (q)$ 的奇偶性和「 $n$ 减去环个数」的奇偶性相同，这样每新增一个环就乘上 $- 1$ ，更加方便树形 DP。

2.3. 非树边

现在考虑另一个方阵 $B$ ，同样把它看成邻接矩阵，那么它是一个边权为 $x$ 的完全图。

观察行列式的定义式：

\sum_{q} (- 1)^{π (q)} \prod_{i} (A_{i, q_{i}}^{'} + B_{i, q_{i}})

每个 $(i, q_{i})$ 要么选 $A^{'}$ 要么选 $B$ 。也就是说选择树边时也可以选择权为 $x$ ，也可以选择全为 $x$ 的非树边。但是如果考虑非树边，环的情况就非常复杂，我们是否需要考虑这些复杂的情况呢？

接下来就是一些数学的分析，想到这一步可能需要一些经验吧……

如果在一个选择环边的方案中选择了两条权为 $x$ 的边（多于两条则考虑最后两条），也就是在矩阵上选择了 $B_{a, q_{a}}, B_{b, q_{b}}$ ，我们可以“交换”一下，选择 $B_{a, q_{b}}, B_{b, q_{a}}$ 。环的变化如下图，会减少一个环，意味着贡献系数相反：

由于交换操作是可逆的，这两张图一一对应，而贡献系数相反，会被抵消。这也是为什么一开始要分离出一个全为 $x$ 的方阵 $B$ 的原因 —— 要保证交换过后的图存在，既然 $B$ 形成完全图，那么这张图必然存在。

于是我们只需要考虑至多选择了一条 $x$ 边的情况，也即至多选择一条非树边，这也可以用树形 DP 计算。情况比较复杂，参考代码写得比较丑陋，建议自己想……

3. 小结

矩阵大多数位置值一样时可以拆成一个稀疏矩阵 $A^{'}$ 和另一个值全部相同的矩阵 $B$ 。

求解行列式又多了一个新方法了 awa：

当稀疏矩阵 $A^{'}$ “特别稀疏”时可以状压 DP；
也可以把矩阵看成邻接矩阵，此题保证了 $p_{i} < i$ ，所以邻接矩阵是一棵树。

应该更注意矩阵的对称性，此题 $A^{'}$ 有值的位置关于主对角线对称，与邻接矩阵相似。

4. 参考代码

点击展开/折叠特别丑的参考代码

Copy/* Lucky_Glass */
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <algorithm>

const int MOD = 1e9 + 7;

inline int add(int a, const int &b) { return (a += b) >= MOD ? a - MOD : a; }
inline int sub(int a, const int &b) { return (a -= b) < 0 ? a + MOD : a; }
inline int mul(const int &a, const int &b) { return int(1ll * a * b % MOD); }
int pPow(int a, int b) {
  int r = 1;
  while (b) {
    if (b & 1) r = mul(r, a);
    a = mul(a, a), b >>= 1;
  }
  return r;
}
#define OPERON(a, b, fun) a = fun(a, b)

const int N =  1e6 + 10;

struct Graph {
  int head[N], to[N << 1], nxt[N << 1], val[N << 1];
  int edg_cnt;
  inline void addEdge(const int &u, const int &v, const int &l) {
    int p = ++edg_cnt;
    to[p] = v, val[p] = l;
    nxt[p] = head[u], head[u] = p;
  }
  inline int operator [] (const int &u) const { return head[u]; }
  Graph() { edg_cnt = 1; }
} gr;

int n, valx;
int vald[N];
int f[N][4][2];

void dfs(const int &u, const int &fa) {
  int u_emp[2] = {1, 0}, u_use[2] = {}, u_up[2] = {}, u_dn[2] = {};
  for (int it = gr[u]; it; it = gr.nxt[it]) if (gr.to[it] != fa) {
    int v = gr.to[it]; dfs(v, u);
    int tmp_emp[2] = {}, tmp_use[2] = {}, tmp_up[2] = {}, tmp_dn[2] = {};
    int tov = gr.val[it], tou = gr.val[it ^ 1];

    /* empty + empty */
    OPERON(tmp_emp[0], mul(u_emp[0], f[v][0][0]), add);
    OPERON(tmp_emp[1], mul(u_emp[1], f[v][0][0]), add);
    OPERON(tmp_emp[1], mul(u_emp[0], f[v][0][1]), add);

    /* two-point loop */
    OPERON(tmp_use[0], mul(mul(u_emp[0], f[v][1][0]), mul(tov, tou)), sub);
    OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_emp[1], f[v][1][0]), mul(tov, tou)), sub);
    OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_emp[0], f[v][1][1]), mul(tov, tou)), sub);
    /* used + empty */
    OPERON(tmp_use[0], mul(u_use[0], f[v][0][0]), add);
    OPERON(tmp_use[1], mul(u_use[1], f[v][0][0]), add);
    OPERON(tmp_use[1], mul(u_use[0], f[v][0][1]), add);
    /* up */
    OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_emp[0], f[v][2][0]), mul(valx, tou)), sub);
    /* down */
    OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_emp[0], f[v][3][0]), mul(valx, tov)), sub);
    /* lca */
    OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_up[0], f[v][3][0]), mul(tov, valx)), sub);
    OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_dn[0], f[v][2][0]), mul(tou, valx)), sub);

    /* go up */
    OPERON(tmp_up[0], mul(mul(u_emp[0], f[v][2][0]), tou), add);
    OPERON(tmp_up[1], mul(mul(u_emp[1], f[v][2][0]), tou), add);
    OPERON(tmp_up[1], mul(mul(u_emp[0], f[v][2][1]), tou), add);
    /* up + empty */
    OPERON(tmp_up[0], mul(u_up[0], f[v][0][0]), add);
    OPERON(tmp_up[1], mul(u_up[1], f[v][0][0]), add);
    OPERON(tmp_up[1], mul(u_up[0], f[v][0][1]), add);

    /* go down */
    OPERON(tmp_dn[0], mul(mul(u_emp[0], f[v][3][0]), tov), add);
    OPERON(tmp_dn[1], mul(mul(u_emp[1], f[v][3][0]), tov), add);
    OPERON(tmp_dn[1], mul(mul(u_emp[0], f[v][3][1]), tov), add);
    /* down + empty */
    OPERON(tmp_dn[0], mul(u_dn[0], f[v][0][0]), add);
    OPERON(tmp_dn[1], mul(u_dn[1], f[v][0][0]), add);
    OPERON(tmp_dn[1], mul(u_dn[0], f[v][0][1]), add);

    u_emp[0] = tmp_emp[0], u_emp[1] = tmp_emp[1];
    u_use[0] = tmp_use[0], u_use[1] = tmp_use[1];
    u_up[0] = tmp_up[0], u_up[1] = tmp_up[1];
    u_dn[0] = tmp_dn[0], u_dn[1] = tmp_dn[1];
  }

  /* self loop */
  OPERON(f[u][0][1], mul(u_emp[0], valx), sub);
  OPERON(f[u][0][1], mul(u_emp[1], vald[u]), sub);
  OPERON(f[u][0][0], mul(u_emp[0], vald[u]), sub);
  /* others */
  OPERON(f[u][0][0], u_use[0], add);
  OPERON(f[u][0][1], u_use[1], add);

  /* two-point loop with fa */
  OPERON(f[u][1][0], u_emp[0], add);
  OPERON(f[u][1][1], u_emp[1], add);

  /* go up */
  OPERON(f[u][2][0], u_up[0], add);
  OPERON(f[u][2][1], u_up[1], add);
  /* start from u */
  OPERON(f[u][2][0], u_emp[0], add);
  OPERON(f[u][2][1], u_emp[1], add);

  /* go down */
  OPERON(f[u][3][0], u_dn[0], add);
  OPERON(f[u][3][1], u_dn[1], add);
  /* end at u */
  OPERON(f[u][3][0], u_emp[0], add);
  OPERON(f[u][3][1], u_emp[1], add);
}
template<typename RType> RType rin(RType &r) {
  int b = 1, c = getchar(); r = 0;
  while (c < '0' || '9' < c) b = c == '-' ? -1 : b, c = getchar();
  while ('0' <= c && c <= '9') r = r * 10 + (c ^ '0'), c = getchar();
  return r *= b;
}
int main() {
  rin(n), rin(valx);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    rin(vald[i]);
    OPERON(vald[i], valx, sub);
  }
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    int fa, tofa, tou;
    rin(fa), rin(tofa), rin(tou);
    OPERON(tofa, valx, sub), OPERON(tou, valx, sub);
    gr.addEdge(i, fa, tofa);
    gr.addEdge(fa, i, tou);
  }

  dfs(1, 0);
  int ans = add(f[1][0][0], f[1][0][1]);
  if (n & 1) ans = sub(0, ans);
  printf("%d\n", ans);
  return 0;
}

THE END

Thanks for reading!

我偏要让世界都坠落
湮灭前整个银河繁星闪烁
撕裂哀鸣是最后的挽歌

——《恒星坠落之时(森罗万象)》 By 星尘/赤羽

> Link 恒星坠落之时 - Bilibili

posted @ 2021-07-06 23:03 Lucky_Glass 阅读(235) 评论(0) 编辑收藏举报

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作者简介

Lumen

· 旧名 Lucky_Glass，部分平台保留。

· 初步入智能领域，现处于自学阶段，许多问题尚未触及本质，烦请见谅。

· 喜欢Vocaloid和Vtuber，仅仅是欣赏歌声；

· 以前画一些画（指照着海报临摹），只可惜现在很少画了；

· Minecraft的忠实粉丝，主要玩科技整合包。

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（没有公告呢o(￣︶￣)o）

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2.3. 非树边

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