「SOL」最差记者2 (LOJ / JOISC2016)
一开始思路就想偏了……
# 题面
> Link LOJ #2740
（LOJ 的翻译很清晰了，就不简化了 懒）
# 解析
首先，我们可以考虑只修改 5h 时的榜单中的省份信息。因为所有 2h 和 5h 的选手信息配对完毕后，我们只需要修改 2h 和 5h 的省份信息中的一个。
不妨考虑修改 5h 是的榜单中的省份。那么对于 5h 榜单的每条信息 \((s_1, p_1)\)，我们需要将它与 2h 的榜单中的信息 \((s_2,p_2)\) 配对 —— 要求 \(s_2\le s_1\)。
若配对的 \(p_1\neq p_2\)，则会产生 \(1\) 的修改代价。所以我们应该尽量让省份相同的信息配对。
于是转化成两张榜单信息（称之为「点」）的匹配问题。可以看成是二分图，2h 榜单和 5h 榜单分别是二分图的两个部。
一种贪心想法是按成绩从小到大依次处理 5h 榜单的信息 \((s_1,p_1)\)，只考虑与相同省份的信息配对：若存在 2h 榜单的信息 \((s_2,p_2)\)（\(s_2\le s_1,p_1=p_2\)）则取 \(\mathbf{s_2}\) 最大的一条信息与 \((s_1,p_1)\) 配对；否则搁置信息 \((s_1,p_1)\)，当所有的信息处理完后，再进行完美匹配（无论如何匹配，这些搁置的信息都会产生 \(1\) 的修改代价）。
但是这样贪心可能导致最后搁置的信息没有完美匹配。虽然题目保证最初一定有完美匹配，但是在上述贪心过程中，我们贪心地匹配了若干对点，可能导致剩下的点无法匹配。
于是我们简单修补一下这个贪心过程：若存在满足条件的 \((s_2,p_2)\)，先尝试与 \((s_1,p_1)\) 配对，检验剩下的点（之前搁置的和尚未处理的）是否有完美匹配，如果有，就匹配。
检验二分图是否有完美匹配，容易想到 Hull 定理。
再加上这张二分图的连边方式非常特殊 —— 5h 榜单的信息 \((s_1,p_1)\) 与所有 2h 榜单中成绩不超过 \(s_1\) 的信息（一个前缀）都有连边。
Hull 定理要求「对于“ 5h 部”的每个点集 \(S\)，其相邻的“ 2h 部”的点集 \(T\)，必须满足 \(|S|\le|T|\)」。
根据连边方式，若点集 \(S,S'\) 的最大成绩一样，则其相邻的点集 \(T\) 就一样 —— 于是我们可以等价地简化条件，对于每个 5h 榜单的前缀点集 \(S\)，其相邻的点集 \(T\) 必须满足 \(|S|\le|T|\)。这样我们只需检验 \(\mathcal{O}(n)\) 个前缀是否满足条件。
再对这个检验过程进行优化 —— 我们把 5h 和 2h 榜单的所有信息放在同一个序列中，按成绩从小到大排序，成绩相同则 2h 榜单的信息靠前。
将序列中 5h 榜单的信息赋值为 \(-1\)，2h 榜单的信息赋值为 \(1\)。检验等价于序列的最小前缀和大于等于 \(0\)。
可以用线段树维护。若检验成功，则匹配 \((s_1,p_1)\) 和 \((s_2,p_2)\)，将这两个信息从线段树中删去，也就是将这两个信息的权值覆盖为 \(0\)。
这样检验后，能在保证合法性（存在完美匹配）的前提下保持最优性。
最后复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。
# 源代码
/*Lucky_Glass*/
#include <set>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
#define con(type) const type &
int n;
int asco[N], bsco[N], bgrp[N], aref[N], bref[N];
set< pair<int, int> > memb[N];
pair<int, int> sor[N << 1]; // <score, group>
struct SegTree {
#define idx(l, r) (((l) + (r)) | ((l) != (r)))
int sum[N << 2], mnpre[N << 2];
void pushUp(con(int) le, con(int) ri) {
int mi = (le + ri) >> 1;
sum[idx(le, ri)] = sum[idx(le, mi)] + sum[idx(mi + 1, ri)];
mnpre[idx(le, ri)] = min(mnpre[idx(le, mi)], sum[idx(le, mi)] + mnpre[idx(mi + 1, ri)]);
}
void build(con(int) le,con(int) ri) {
if( le == ri ){
mnpre[idx(le, ri)] = sum[idx(le, ri)] = sor[le].second <= n ? 1 : -1;
return ;
}
int mi = (le + ri) >> 1;
build(le, mi), build(mi + 1, ri);
pushUp(le, ri);
}
// typ = -1: clear; typ = 1: resume
void modify(con(int) le, con(int) ri, con(int) pos, con(int) typ) {
if( le == ri ) {
if( typ == 1 ) mnpre[idx(le, ri)] = sum[idx(le, ri)] = sor[le].second <= n ? 1 : -1;
else mnpre[idx(le, ri)] = sum[idx(le, ri)] = 0;
return;
}
int mi = (le + ri) >> 1;
if( pos <= mi ) modify(le, mi, pos, typ);
else modify(mi + 1, ri, pos, typ);
pushUp(le, ri);
}
bool query() {return mnpre[idx(1, 2 * n)] >= 0;}
}seg;
int main() {
// freopen("input.in", "r", stdin);
scanf("%d", &n);
for(int i=1,inp;i<=n;i++) {
scanf("%d%d", &inp, &asco[i]);
memb[inp].insert(make_pair(asco[i], i));
sor[i] = make_pair(asco[i], i);
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d%d", &bgrp[i], &bsco[i]);
sor[i + n] = make_pair(bsco[i], i + n);
}
sort(sor + 1, sor + 1 + (n << 1));
for(int i=1;i<=2*n;i++)
if( sor[i].second > n ) bref[sor[i].second - n] = i;
else aref[sor[i].second] = i;
// for(int i=1;i<=2*n;i++) printf("(%d,%d) ", sor[i].first, sor[i].second); printf("\n");
seg.build(1, n << 1);
int ans = n;
for(int i=n;i;i--) {
set< pair<int, int> >::iterator it = memb[bgrp[i]].lower_bound(make_pair(bsco[i], n + 1));
if( it != memb[bgrp[i]].begin() ) {
it--;
seg.modify(1, n << 1, aref[it->second], -1);
seg.modify(1, n << 1, bref[i], -1);
if( !seg.query() ) {
seg.modify(1, n << 1, aref[it->second], 1);
seg.modify(1, n << 1, bref[i], 1);
}
else {
ans--;
memb[bgrp[i]].erase(it);
}
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
THE END
Thanks for reading!
暖风捎来馥郁的飘香 栀子花海歆然盛放
我不拒绝对往事回想 也不在乎曾遍体鳞伤
只因为 岁月荏苒 你温柔的目光一如既往
看吧 我将沐火而唱
「一路有你 一路悠扬」
——《我将沐火而唱》By 豆腐P / 东方栀子 / 顾令
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