「SOL」Spaceship(LOJ/USACO)
USACO 好难啊
# 题面
\(n\) 个点之间有若干条有向边连接，保证边 \(u\to v\) 不超过一条，但可能同时有 \(u\to v,v\to u\)，也可以有自环。
你有 \(m\) 个按钮编号为 \(1\sim m\)，最初所有按钮都「可用」。当你按下按钮 \(x\) 后，按钮 \(x\) 会被「禁用」（你不能按当前被禁用的按钮），同时按钮 \(1\sim x-1\) 全部恢复成可用。
给定 \(Q\) 组询问，每组询问给出 \(s,t,b_s,b_t\)，表示：你从 \(s\) 点出发，开始时强制按钮 \(b_s\) 变为「禁用」；你需要按一个按钮，然后走一步；求有多少种方案，满足当你到达 \(t\) 点时，你上一次按的按钮为 \(b_t\)。
数据规模：\(n,m,q\le60\)。
# 解析
暂时不管 \(b_s,b_t\) 的限制。
根据规则，我们按下按钮 \(i\) 后，小于 \(i\) 的按钮都会重置，于是比较自然地想到计算子问题「只用小于等于 \(i\) 的按钮」。
定义朴素 DP 状态：\(f(i,s,t)\) 表示「只按小于等于 \(i\) 的按钮，从 \(s\) 跑到 t$ 有多少种方案」。记 \(g(s,t)\) 表示是否存在边 \(s\to t\)，存在为 \(1\)，不存在为 \(0\)。
考虑 \(f\) 的转移 —— 「只按小于等于 \(i\) 的按钮」，意味着当我们按下 \(i\) 后，\(i\) 就永远禁用了，于是可以先分两类再拆三段：
- 不按按钮 \(i\)：\(f(i,s,t)\gets f(i-1,s,t)\)（“\(\gets\)” 在这里表示 “贡献”）；
- 按按钮 \(i\)，可以拆成三段：
- 先在 \(1\sim i-1\) 中瞎乱按：\(f(i-1,s,x)\)；
- 按按钮 \(i\)：\(e(x,y)\)；
- 再在 \(1\sim i-1\) 中瞎乱按：\(f(i-1,y,t)\)。
记矩阵 \(E\)：\(E_{ij}=e(i,j)\)；\(F^i\)：\(F^i_{st}=f(i,s,t)\)。
矩阵编号写成下标太难受了 ::>_<::
于是 DP 的转移方程就可以写成：
可以 \(\mathcal{O}(n^4)\) 处理出所有的 DP 值。
再考虑 \(b_s,b_t\) 的限制。仍然分析「只按小于等于 \(b_{mx}\) 的按钮」这样的子问题，不过这次要求一定要按 \(b_{mx}\)。
把方案从按下 \(b_{mx}\) 这个位置分成两半计算，因为 \(b_{mx}\) 既然是按的最大的按钮，肯定只能按一次。
定义 DP 状态 \(p(i,x)\) 表示：\(b_{mx}=i\) 时，从 \(s\) 出发，按钮初始状态为“只有 \(b_s\) 禁用”，每走一步按一次按钮（这样方便理解一些），走到 \(x\) 时按下 \(b_{mx}\) 的方案数。
根据定义，DP 初值为 \(p(b_s,s)=1\)。一种方案可以看成两部分：
- 只在小于等于 \(j\) 的按钮中乱按，从 \(s\) 跑到 \(y\)，且最后按下按钮 \(j\)（此时小于等于 \(j-1\) 的按钮重置）；
- 在小于等于 \(j-1\) 的按钮中乱按，从 \(y\) 跑到 \(z\)；
- 按下 \(i\)，从 \(z\) 跑到 \(x\)，结束。
同样，写成矩阵的形式，一个一行 \(n\) 列的矩阵。\(P^i\)：\(P^i_{1j}=p(i,j)\)。
注意到 \(P\) 是 \(1\times n\) 的，上述转移可以 \(\mathcal{O}(n^3)\) 计算出所有的 \(p(i,x)\)。
再推导后一半：按下按钮 \(b_{mx}\) 最后按 \(b_t\)。记 \(q(i,x)\) 表示 \(b_{mx}=i\) 时，从 \(x\) 出发，按钮初始状态为“只有 \(b_{mx}\) 为禁用”，按一次按钮走一步，走到 \(t\) 且最后一次按 \(b_t\) 的方案数。
答案则为
注意到 \(q\) 和 \(p\) 在某种程度上是高度对称的，我们可以较为简单地得到 \(q\) 的转移 —— 基本上就是把整个过程倒过来想。
- 最后在小于等于 \(j-1\) 的按钮中乱按，从 \(z\) 跑到了 \(t\)；
- 之前在小于等于 \(j\) 的按钮中乱按，最后一次按了按钮 \(j\)，从 \(y\) 跑到了 \(z\)；
- 最开始按了按钮 \(i\)，从 \(x\) 跑到了 \(y\)。
同理可以 \(\mathcal{O}(n^3)\) 求解。
所以总复杂度为 \(\mathcal{O}(n^4+Qn^3)\)，写成矩阵可以让代码略微好看一些……
# 源代码
/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int rin(int &r){
int b=1,c=getchar();r=0;
while(c<'0' || '9'<c) b=c=='-'?-1:b,c=getchar();
while('0'<=c && c<='9') r=(r<<1)+(r<<3)+(c^'0'),c=getchar();
return r*=b;
}
const int N=65,MOD=1e9+7;
#define con(type) const type &
inline int add(con(int)a,con(int)b){return a+b>=MOD?a+b-MOD:a+b;}
inline int sub(con(int)a,con(int)b){return a-b<0?a-b+MOD:a-b;}
inline int mul(con(int)a,con(int)b){return int(1ll*a*b%MOD);}
inline int ina_pow(con(int)a,con(int)b){return b?mul(ina_pow(mul(a,a),b>>1),(b&1)?a:1):1;}
inline void upd(int &a,con(int)b){a=add(a,b);}
int n,m,nq;
char str[N];
struct Matrix{
int mat[N][N];
Matrix(){memset(mat,0,sizeof mat);}
inline int* operator [](con(int)i){return mat[i];}
Matrix operator *(con(Matrix)b)const{
Matrix c;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int j=1;j<=n;j++)
upd(c.mat[i][j],mul(mat[i][k],b.mat[k][j]));
return c;
}
void operator +=(con(Matrix)b){
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
upd(mat[i][j],b.mat[i][j]);
}
}m_tra,m_def[N];
int vs[N][N],vt[N][N],tmp[N],tmp2[N];
int main(){
// freopen("input.in","r",stdin);
rin(n),rin(m),rin(nq);
for(int u=1;u<=n;u++){
scanf("%s",str+1);
for(int v=1;v<=n;v++)
m_tra[u][v]=str[v]=='1';
}
for(int i=1;i<=n;i++)
m_def[0][i][i]=1;
for(int i=1;i<=m;i++){
m_def[i]=m_def[i-1];
m_def[i]+=m_def[i-1]*m_tra*m_def[i-1];
}
for(int mq=1,bs,bt,s,t;mq<=nq;mq++){
rin(bs),rin(s),rin(bt),rin(t);
memset(vs,0,sizeof vs);
memset(vt,0,sizeof vt);
// “走完这一步，按一次按钮” -> “最初在 s 点直接按一次按钮”
vs[bs][s]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=m_def[bs-1][s][i];
for(int i=bs+1;i<=m;i++){
for(int p=1;p<=n;p++)
for(int q=1;q<=n;q++)
upd(vs[i][q],mul(tmp[p],m_tra[p][q]));
for(int p=1;p<=n;p++)
for(int q=1;q<=n;q++)
upd(tmp2[q],mul(vs[i][p],m_def[i-1][p][q]));
for(int p=1;p<=n;p++) upd(tmp[p],tmp2[p]),tmp2[p]=0;
}
// “按一次按钮，走一步” -> “最后在 t 直接按一次”
vt[bt][t]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) tmp[i]=m_def[bt-1][i][t];
for(int i=bt+1;i<=m;i++){
for(int p=1;p<=n;p++)
for(int q=1;q<=n;q++)
upd(vt[i][q],mul(tmp[p],m_tra[q][p]));
for(int p=1;p<=n;p++)
for(int q=1;q<=n;q++)
upd(tmp2[q],mul(vt[i][p],m_def[i-1][q][p]));
for(int p=1;p<=n;p++) upd(tmp[p],tmp2[p]),tmp2[p]=0;
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
upd(ans,mul(vs[i][j],vt[i][j]));
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
