「SOL」谢特(LOJ)

Oh! s**t bi——（屏蔽）

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# 题面

给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(S\) 和正整数数列 \(w_1,w_2,\cdots,w_n\)。记以第 \(i\) 个字符开头的后缀为 \(S_i\)。

求 \(\max\limits_{i\neq j}\{\operatorname{LCP}(S_i,S_j)+(w_i\oplus w_j)\}\)，其中 \(\oplus\) 为按位异或。

数据规模：\(1\le n\le10^5\)，\(w_i< n\)。

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# 解析

LCP？能够快速求LCP的——SAM，哈希+二分……SA的height数组？（虽然SAM也能做，但是感觉height数组要清晰一些）

另外，我写的 height[i] 表示的是 sa[i] 和 sa[i+1] 的 LCP，注意一下下标。

我们知道 \(LCP(S_i,S_j)\) 就是 rank[i] 和 rank[j] 之间的 height 的最小值。

不妨对 height 数组的每个位置 \(i\)，考虑计算以 \(i\) 处为 height 最小值的一对 \(S_i,S_j\) 的 \(\max\{w_i\oplus w_j\}\)。如何求两个数异或的最大值？Trie树即可。（线性基是求若干个数的异或和）

那么怎么求有哪些 \(S_i,S_j\) 以 \(i\) 位置为 height 最小值？可以想到用笛卡尔树，按根为区间最小值的方式建出 height 数组的笛卡尔树。

于是可以递归地计算答案——

• 叶子 \(i\) 处答案为 height[i]+(w[i]^w[i+1])，笛卡尔树中有两个串：w[sa[i]],w[sa[i+1]]；
• 非叶子节点 \(i\)，先考虑计算答案——枚举一棵子树的中的所有串，在另一棵子树的 Trie 树中查答案，取最大值记为 mx，则答案为 height[i]+mx。
  但是如果随便选一棵子树枚举其中的所有串，每次复杂度显然会降至 \(O(n\log n)\)。我们可以“聪明一点”，用启发式的思想，枚举大小较小的一棵子树中的串，在另一棵子树的 Trie 中查，这样总的复杂度就是 \(O(n\log^2n)\)。
  最后两棵子树的 Trie 合并，该怎么合并怎么合并，至于复杂度：未合并时，Trie 的总点数为 \(O(n\log n)\)，每次合并的复杂度是合并的点数，每次合并后总点数会减少合并的点数，总复杂度 \(O(n\log n)\)。

这样就可以在 \(O(n\log^2 n)\) 的复杂度内解决。

最后提一句——注意 Trie 树存二进制的叶子节点的深度（在我的实现中叶子深度应为 \(-1\)）。

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# 源代码

解析说起来还很快乐，但是代码好像也不是特别短……

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/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1e5+10;
#define con(type) const type &

inline int rin(int &r){
	int b=1,c=getchar();r=0;
	while(c<'0' || '9'<c) b=c=='-'?-1:b,c=getchar();
	while('0'<=c && c<='9') r=(r<<1)+(r<<3)+(c^'0'),c=getchar();
	return r*=b;
}

namespace SA{
	int rnk[N<<1],nrnk[N<<1],sa[N<<1],nsa[N<<1],hgt[N];
	int bin[N];
	void build(char *str,con(int)n){
		for(int i=1;i<=n;i++) bin[str[i]-'a']++;
		for(int i=1;i<30;i++) bin[i]+=bin[i-1];
		for(int i=1;i<=n;i++) sa[bin[str[i]-'a']--]=i;
		rnk[sa[1]]=1;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			rnk[sa[i]]=rnk[sa[i-1]];
			if(str[sa[i]]!=str[sa[i-1]]) rnk[sa[i]]++;
		}
		for(int len=1;rnk[sa[n]]<n;len<<=1){
			for(int i=1;i<=n;i++) bin[rnk[sa[i]]]=i;
			for(int i=n;i>=1;i--)
				if(sa[i]>len)
					nsa[bin[rnk[sa[i]-len]]--]=sa[i]-len;
			for(int i=n-len+1;i<=n;i++)
				nsa[bin[rnk[i]]--]=i;
			nrnk[nsa[1]]=1;
			for(int i=2;i<=n;i++){
				nrnk[nsa[i]]=nrnk[nsa[i-1]];
				if(rnk[nsa[i]]!=rnk[nsa[i-1]] || rnk[nsa[i]+len]!=rnk[nsa[i-1]+len])
					nrnk[nsa[i]]++;
			}
			swap(rnk,nrnk),swap(sa,nsa);
		}
	}
	void buildHeight(char *str,con(int)n){
		for(int i=1,tmp=0;i<=n;i++){
			if(tmp) tmp--;
			while(str[i+tmp]==str[sa[rnk[i]-1]+tmp]) tmp++;
			hgt[rnk[i]]=tmp;                                                 
		}
	}
}

struct SuperDeque{
	int ary[N],le,ri;
	void clear(){le=1,ri=0;}
	void push_back(con(int)x){ary[++ri]=x;}
	void pop_back(){ri--;}
	void pop_front(){le++;}
	int back(){return ary[ri];}
	int front(){return ary[le];}
	bool empty(){return le>ri;}
}que;

struct Trie{
	int nxt[N*20][2],rt[N],ncnt;
	int combine(con(int)u,con(int)v){
		if(!u || !v) return u|v;
		nxt[u][0]=combine(nxt[u][0],nxt[v][0]);
		nxt[u][1]=combine(nxt[u][1],nxt[v][1]);
		return u;
	}
	int query(con(int)u,con(int)num){
		int ret=0;
		for(int dep=16,v=u;~dep;dep--){
			int dir=!(num>>dep&1);
			if(nxt[v][dir]) v=nxt[v][dir],ret|=(1<<dep);
			else v=nxt[v][!dir];
		}
		return ret;
	}
	int query(con(int)u,con(int)dep,con(int)num,con(int)v){
		if(dep==-1) return query(v,num);
		int ret=0;
		if(nxt[u][0]) ret=max(ret,query(nxt[u][0],dep-1,num,v));
		if(nxt[u][1]) ret=max(ret,query(nxt[u][1],dep-1,num|(1<<dep),v));
		return ret;
	}
	void insert(int &u,con(int)dep,con(int)num){
		if(!u) u=++ncnt;
		if(dep==-1) return;
		insert(nxt[u][num>>dep&1],dep-1,num);
	}
	int& operator [](con(int)u){return rt[u];}
}tri;

int n,ans;
int val[N],son[N][2];
char str[N];

int dacDFS(con(int)u){
	if(!son[u][0] && !son[u][1]){
		tri.insert(tri[u],16,val[SA::sa[u]]);
		ans=max(ans,tri.query(tri[u],val[SA::sa[u+1]])+SA::hgt[u]);
		tri.insert(tri[u],16,val[SA::sa[u+1]]);
		return 2;
	}
	else if(!son[u][0]){
		int ret=dacDFS(son[u][1])+1;
		ans=max(ans,tri.query(tri[son[u][1]],val[SA::sa[u]])+SA::hgt[u]);
		tri.insert(tri[son[u][1]],16,val[SA::sa[u]]);
		tri[u]=tri[son[u][1]];
		return ret;
	}
	else if(!son[u][1]){
		int ret=dacDFS(son[u][0])+1;
		ans=max(ans,tri.query(tri[son[u][0]],val[SA::sa[u+1]])+SA::hgt[u]);
		tri.insert(tri[son[u][0]],16,val[SA::sa[u+1]]);
		tri[u]=tri[son[u][0]];
		return ret;
	}
	else{
		int res0=dacDFS(son[u][0]),res1=dacDFS(son[u][1]);
		if(res0<res1) ans=max(ans,tri.query(tri[son[u][0]],16,0,tri[son[u][1]]));
		else ans=max(ans,tri.query(tri[son[u][1]],16,0,tri[son[u][0]]));
		tri[u]=tri.combine(tri[son[u][0]],tri[son[u][1]]);
		return res0+res1;
	}
}
int main(){
	rin(n),scanf("%s",str+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) rin(val[i]);
	SA::build(str,n),SA::buildHeight(str,n);
	for(int i=1;i<n;i++) SA::hgt[i]=SA::hgt[i+1];
	// for(int i=1;i<n;i++) printf("! %d\n",SA::hgt[i]);
	que.clear();
	for(int i=1;i<n;i++){
		int las=0;
		while(!que.empty() && SA::hgt[que.back()]>SA::hgt[i]){
			son[que.back()][1]=las;
			las=que.back(),que.pop_back();
		}
		son[i][0]=las;
		que.push_back(i);
	}
	int las=0;
	while(!que.empty()){
		son[que.back()][1]=las;
		las=que.back(),que.pop_back();
	}
	// for(int i=1;i<n;i++) printf("%d %d\n",son[i][0],son[i][1]);
	dacDFS(las);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

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THE END

Thanks for reading!

若你是最悠长的宫音
我是清亮的羽
分离在琴弦的两极 难相遇
纵然是再遥远的距离
也愿与你相依
只等那一曲琴声起 和鸣

——《琴弦上(vocaloid)》By 乐正绫/赤羽/星葵

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