「SOL」工厂选址(BZOJ)
一如既往地咕
# 题面
某地区有 \(m\) 座煤矿，其中第 \(i\) 号矿每年产量为 \(a_i\) 吨。
有一个旧发电厂，每年需用煤 \(b\) 吨（将恰好 \(b\) 吨煤运给旧发电厂），每年维护费用为 \(h\) 元，每吨原煤从第 \(i\) 号矿运到旧发电厂的运费为 \(C_{i0}\)（\(i=1,2,\cdots,m\)）。
现规划新建一个发电厂，\(m\) 座煤矿每年开采的原煤除了供给旧发电厂的 \(b\) 吨，其余全部供给新发电厂。现有 \(n\) 个备选的厂址。若在第 \(j\) 号备选厂址建新厂，每年维护费用为 \(h_j\) 元。每吨原煤从第 \(i\) 号矿运到 \(j\) 号备选厂址的运费为 \(C_{ij}\)（\(i=1,2,\cdots,m\)；\(j=1,2,\cdots,n\)）。
求总费用的最小值，以及在该最小费用下，新发电厂的厂址编号最小是多少。
数据规模 \(n\le50\)，\(m\le50000\)，\(b\le10000\)
# 解析
这道题可以直接贪心，但是既然要学带悔贪心，用带悔贪心做也不是不行 awa
\(n\) 不大，可以对每个厂址都计算一次“将新发电厂建在该处的最小花费”。于是只需要决策煤的分配。
记 \(c_i\) 为每吨煤从煤矿 \(i\) 运到旧发电厂的代价，\(c_i'\) 为运到新发电厂的代价。
先考虑简单的情况，假如每个煤矿只有一吨煤。
因为旧发电厂必须要 \(b\) 吨煤，不妨先随便安排把这 \(b\) 吨凑满。
然后剩下的煤直接分配给新发电厂吗？显然是不一定最优的——考虑当前煤矿 \(i\) 的一吨煤：
- 如果煤矿 \(j\) 的一吨煤供给了旧发电厂；
- 而用煤矿 \(i\) 替代煤矿 \(j\) 去供给旧发电厂是否会更优？
条件就是 \(c_i+c_j'< c_i'+c_j\) 等价于
于是维护当前供给旧发电厂的煤矿的 \(c_j-c_j'\) 的大根堆，如果堆顶可以被煤矿 \(i\) 替代，则替代。由于替代出的 \(j\) 是当前堆中最大的，所以 \(j\) 不可能反过来又替代掉堆中其他的煤矿。
但是现在煤矿不止有一吨煤怎么办？于是我们联想到带悔贪心（模拟费用流）的模板题中“每个洞可以容纳多只老鼠”的情况，用堆维护 pair ，维护 \(c_j-c_j'\) 的大根堆，以及该类煤有多少吨。
详见代码。
# 源代码
/*Lucky_Glass*/
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int Rint(int &r){
int b=1, c=getchar(); r=0;
while(c<'0' || '9'<c) b=c=='-'?-1:b, c=getchar();
while('0'<=c && c<='9') r=(r<<1)+(r<<3)+(c^'0'), c=getchar();
return r*=b;
}
const int N=55, M=5e4+10;
typedef pair<int, int> pii;
int m, varB, varH, n;
int num[M], aryh[N], aryc[M][2];
int main(){
Rint(m), Rint(varB), Rint(varH), Rint(n);
for(int i=1; i<=m; i++) Rint(num[i]);
for(int i=1; i<=n; i++) Rint(aryh[i]);
for(int i=1; i<=m; i++) Rint(aryc[i][0]);
long long anscost=0;
int anspos=-1;
for(int i=1; i<=n; i++){ //把新工厂建在 i 位置
for(int j=1; j<=m; j++) Rint(aryc[j][1]);
long long total=varH+aryh[i];
int rem=varB;
//to new - to old
priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > que;
for(int j=1; j<=m; j++){
//tmp: 工厂j还剩多少单位
//use: 工厂j运给旧工厂多少单位
int tmp=num[j], use=0;
if(rem) //旧工厂不够
if(rem>=tmp){ //全部运给旧工厂
total+=1ll*aryc[j][0]*tmp;
rem-=tmp, use=tmp, tmp=0;
}
else{ //还有一些剩余
total+=1ll*aryc[j][0]*rem;
tmp-=rem, use=rem, rem=0;
}
while(!que.empty() && tmp){ //尝试用 j 代替原本供应给旧工厂的 top
if(que.top().first>=aryc[j][1]-aryc[j][0]) break;
pii tp=que.top(); que.pop();
int now=min(tmp, tp.second); //替代了 now 单位
use+=now, tp.second-=now, tmp-=now;
if(tp.second) que.push(tp);
total+=1ll*now*tp.first+1ll*now*aryc[j][0];
}
if(tmp) total+=1ll*tmp*aryc[j][1]; //其他剩余全部给新工厂
if(use) que.push(make_pair(aryc[j][1]-aryc[j][0], use)); //运给旧工厂的 use 单位准备反悔
}
if(~anspos){
if(total<anscost)
anscost=total, anspos=i;
}
else anscost=total, anspos=i;
}
printf("%d\n%lld\n", anspos, anscost);
return 0;
}
THE END
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