学习笔记 - 虚树
虚树 - 学习笔记
初学的时候整个人是懵的
不过总算是弄懂了
『算法概述』
对于一类树上的问题，如果仅有一部分点对答案“有用”（也就是说另一部分“可以不要”），那么我们考虑只存储那些有用的点。这就是虚树的思想。所以为什么它叫虚树？我也不知道……
通常情况下我们把一些点的 LCA 也算作“有用”的点。
虚树可做的题目一般来说（以我对虚树短浅的认知）会限制有用的点的总个数，并且会用多组询问的方式来使一般的方法TLE……
『具体实现』
仿照着其他博客的思路，我觉得用一道例题来讲会更加容易理解——
〔BZOJ 2286 消耗战〕
「题意」
给定一棵n个点的树，每个边有权值表示将它割断的花费，已知其中的k个点是有价值的，现在需要把这些点与点1断开（不连通），求最小花费。
输入时先给定一棵树。
m组数据，每次询问给出k个点，表示它们是有价值的，对于每组数据输出最小花费。
[反正\(O(nm)\)会超时就对了，保证所有数据的k之和不超过500000]
这道题最基础的做法是对于每一组数据跑一遍DP，显然是 \(O(nm)\) 的做法，会 TLE。
那么这道题也算是一道比较特殊的虚树题（某taotao给我说的：这道题必须把根节点1放在虚树里，就不能体现虚树的一些性质）。
「DP部分」
不难想到将点u与根节点割开无非就是割去根节点到u的路径上的一条边，根据这一点我们定义 dp[u] 表示 根节点到u的路径上的最小边，也就是将 u 从根节点割开的最小花费。
那么就可以得到简单的转移式，首先初始值是 \(dp[1]=INF\)（感性理解就是1不可能与它本身割开），然后转移式：
也就是说要么在 1 到 u 的路径上割掉一条边，要么割断 u 到 v 的边。
「虚树部分」
为什么说“一些点的lca有用”呢？等会在「求解部分」会解释。
虚树的构建方法大概是：
- 将有用点按 dfs 序排序；
- 创建栈并将第一个点压入；
- 枚举下一个点 u （直到枚举完为止）；
- 如果栈内只有一个点，将 u 压入栈，跳到步骤 3，否则进行下一步；
- 求 u 与 栈顶点 的lca；
- 如果lca就是栈顶点，跳转到步骤3，否则进行下一步；
- 设栈内栈顶点的后面一个点为w；
- 如果w的dfs序大于等于lca的dfs序，进行下一步，否则跳转到步骤 10；
- 在 w 和 栈顶点 之间连边，并弹出栈顶，跳转到步骤7；
- 如果 lca 不是现在的栈顶点，在 lca 和现在栈顶点之间连边；
- 弹出栈顶，并将 lca 压入栈；
- 压入u，跳转到步骤3；
（希望reader们都看懂了，可以把样例拿来自己推一推）
这样一棵虚树就构造好了。
注意重置虚树的方法，不要 memset（我已经试过了）
「求解部分」
（这里的DFS实际上就是树形DP，而dp[u]表示的并不是DP数组，只是u到根节点到路径上的最小边-既然有reader问到了我还是补一下）
从根节点1开始，在虚树上DFS一遍，如果当前节点是叶子节点，就直接返回它的dp值，否则返回 min{它的dp值,它的所有儿子的返回值之和}
就相当于如果要割断 u 和 v ，要么割断它们的lca，要么分别将它们割断（花费加起来）。所以lca是有用的~
具体一点的话就是：
先判断当前u是否是叶子节点，如果是则说明这一定是题目给出的“有价值”的点，就不得不将它与它的父亲割开——返回 dp[u]
否则判断两种情况： ① 当前点到根节点的路径已经被割断了——也就是 dp[u]；② 逐个考虑u的儿子，分别将它们与根节点割开——\(\sum_{v\in son\ of\ u}DFS(v)\)（虽然可能dp[v]表示的割去的边是根节点到u到路径上到边，看似是重复的，但是这样的情况会在①②两种情况取较小值时被排除~）
「至于这道题虚树的用处」
根据DP时的决策，我们发现需要的点无非3种——①根节点，因为这是DP的起点（而且转移时根节点也可能有一定贡献）；②“有价值的点”，这会作为虚树的叶子节点，并且限制DP时的转移；③lca，在DP转移时会有两种情况，要么是把lca到根节点的路径割断，要么是把“有价值的点”到lca到路径割断。
那么我们只需要考虑这3种点就可以了。
但是其实这只是一种特例——有一些（大多数）题是不一定要把根节点放在虚树里面的，比如 Codeforces 613D 。
「一些坑」
总的来说虚树题都会出很多个询问，然后我们要对每个询问都建立虚树……于是我们就面临一个问题——怎么重置虚树？
在这里我是用的手写链表储存的邻接表，所以我会在DFS(u)计算出答案之后将u的表头清零（就相当于把与u相连的所有边删掉了），最后再把链表的计数器清零。
切忌用memset（TLE的亲身经历），但是也要注意是否完全清零~
『源代码』
结合代码更容易理解~
/*Lucky_Glass*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=250000;
typedef long long ll;
int QRead(){
int a=0,b=1;char c=getchar();
while(!('0'<=c && c<='9')) b=(c=='-'? -1:b),c=getchar();
while('0'<=c && c<='9') a=(a<<3)+(a<<1)+c-'0',c=getchar();
return a*b;
}
struct GRAPH{
struct EDGE{
int to,nxt,cst;
EDGE(){}
EDGE(int _to,int _nxt,int _cst):to(_to),nxt(_nxt),cst(_cst){}
}edg[N*2+7];
int adj[N+7],edgtot;
void ReBuild(){
memset(adj,-1,sizeof adj);
edgtot=0;
}
void AddEdge(int u,int v,int cst,bool dir=false){
edg[++edgtot]=EDGE(v,adj[u],cst);adj[u]=edgtot;
if(!dir) edg[++edgtot]=EDGE(u,adj[v],cst),adj[v]=edgtot;
}
}grp,tre;
int dfncnt,n,q,m,statop;
int dfn[N+7],fa[N+7][20],dep[N+7],pnt[N+7],sta[N+7];
ll dp[N+7];
void DFS(int u,int pre){
fa[u][0]=pre;dep[u]=dep[pre]+1;dfn[u]=++dfncnt;
for(int i=1;i<20;i++) fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
for(int i=grp.adj[u];i!=-1;i=grp.edg[i].nxt){
int v=grp.edg[i].to;
if(v==pre) continue;
dp[v]=min(dp[u],1ll*grp.edg[i].cst);
DFS(v,u);
}
}
int LCA(int u,int v){
if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
for(int i=19;i>=0;i--)
if(dep[fa[v][i]]>=dep[u])
v=fa[v][i];
if(u==v) return u;
for(int i=19;i>=0;i--)
if(fa[v][i]!=fa[u][i])
v=fa[v][i],
u=fa[u][i];
return fa[u][0];
}
void Insert(int u){
if(statop==1){sta[++statop]=u;return;}
int lca=LCA(u,sta[statop]);
if(lca==sta[statop]) return;
while(statop>1 && dfn[sta[statop-1]]>=dfn[lca])
tre.AddEdge(sta[statop-1],sta[statop],0,true),
sta[statop--]=0;
if(lca!=sta[statop]) tre.AddEdge(lca,sta[statop],0,true),sta[statop]=lca;
sta[++statop]=u;
}
ll DP(int u){
if(tre.adj[u]==-1) return dp[u];
ll sum=0;
for(int i=tre.adj[u];i!=-1;i=tre.edg[i].nxt)
sum+=DP(tre.edg[i].to);
tre.adj[u]=-1;
return min(sum,dp[u]);
}
bool cmp(int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];}
int main(){
grp.ReBuild();
tre.ReBuild();
n=QRead();
for(int i=1,u,v,cst;i<n;i++)
u=QRead(),v=QRead(),cst=QRead(),
grp.AddEdge(u,v,cst);
dp[1]=(1ll<<60);
DFS(1,0);
q=QRead();
while(q--){
m=QRead();
for(int i=0;i<m;i++) pnt[i]=QRead();
sort(pnt,pnt+m,cmp);
tre.edgtot=0;
sta[statop=1]=1;
for(int i=0;i<m;i++) Insert(pnt[i]);
while(statop>1)
tre.AddEdge(sta[statop-1],sta[statop],0,true),
sta[statop--]=0;
printf("%lld\n",DP(1));
}
return 0;
}
\(\mathcal{The\ End}\)
\(\mathcal{Thanks\ For\ Reading!}\)
没看懂的部分可以在我的邮箱（\(lucky\_glass@foxmail.com\)）里询问~
