Kruskal 最小生成树

-1919810.前言

如果你想要学好 Kruskal 的话，那么你就得先学好 Kruskal ，你一看这个 Kruskal，你想掌握它还真不容易，基础知识里头你就得掌握 Kruskal、Kruskal、甚至还有 Kruskal 等高级算法！！所以这个 Kruskal 的学习是层层递进的。

-114514.前置芝士

1.贪心

2.并查集

3.然后就没有啦

-1.正儿八紧的算法讲解

首先，既然它叫 Kruskal 最小生成树，那么它肯定是 Kruskal 发明的。

其次，最小生成树是什么你都不知道吧，那么就请看下面：

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最小生成树

一个无向图的最小生成树就是在这张图中选出它的节点数 $n$ - $1$ 条边，使其能够通过这 $n$ - $1$ 条边构成一个连通图并且权值最小。

我们知道，一个无向图，如果只有它的节点数 $n$ - $1$ 条边，且连通，那么它就是一棵树，并且不能形成环。

所以它的名字叫做最小生成树。

注意，一个不连通的无向图没有最小生成树！

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这个算法的核心思想就是贪心。

它的实现是这样的：

首先，我们随便拿出一个无向图：

既然要它的权值和最小，那么我们肯定先选权值最小的一条边

然后再找第二小的边

第三

第四

第五

第六

到了第七小的边时，你会发现它的两个端点已经是连通的了，再选就成一个环了，于是我们跳过它

第八

这时，我们选的边数已经达到了 $n$ - $1$ 条边，且图内所有的点都连通了。

因为我们每次选的边都是最小的，所以权值和也肯定是最小的，那么这张图中被标红的边就是这张图的最小生成树。

于是，算法流程就出来了：

1.定义一个结构体存储每一条边的两个端点和权值。

2.将每一条边按照权值从小到大排序。

3.枚举边，用并查集来维护连通性，如果这条边的两个端点在一个集合中，那么跳过它，反之，则将它们连起来，并且把权值和 $ans$ 加上这条边的权值，选过的边 $cnt$ + $1$（注意，这里的并查集是不用管它原来所有的边的，只管你选了的边，所以它们一开始都不连通）。

4.枚举的过程中，如果你已经选了 $n$ - $1$ 条边，那么停止循环。

5.如果最后选过的边不足 $n$ - $1$ 条，那么这个图不连通，没有最小生成树，反之则有，它的权值和就是统计过的 $ans$。

6.耶！我们做完了！！！

-2.这个算法有什么用啊啊啊

这个东东可以用来解决如何用最小的“代价”用 $n$ - $1$ 条边连接 $n$ 个点的问题。

-3.板子题屑讲

震惊全世界的板子题 P3366 【模板】最小生成树（《真》板子，都给你标了）

题目描述

如题，给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

分析

这有什么好分析的！就是个硬得不能再硬的板子！！！

代码（SSSSSSSVIP版含注释不纯享代码）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 2e5 + 5, N = 5e3 + 5;
struct node//存储每一条边的结构体
{
	int x, y, w;
}a[M];
int n, m, fa[N], ans, cnt;//n个结点，m条无向边，fa[i]表示第i个节点所在的集合，ans为权值和，cnt为选的边数
int find(int x)//路径压缩
{
	if (fa[x] == x)
		return x;
	return fa[x] = find(fa[x]);
}
void merge(int x, int y)//合并
{
	int fx = find(x), fy = find(y);
	if (fx == fy)
		return;
	fa[fy] = fx;
	return;
}
void kruskal()//Kruskal
{
	for (int i = 1; i <= n; i++)//并查集初始化
		fa[i] = i;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int fx = find(a[i].x), fy = find(a[i].y);//找到边i的两个端点x,y所在的集合（连通块）
		if (fx != fy)//如果不在同一个集合（也就是不连通）
		{
			merge(fx, fy);//合并
			cnt++, ans += a[i].w;//边数+1，权值和+边权
		}
		if (cnt == n - 1)//如果已经选了n-1条边了，结束循环
			return;
	}
	return;
}
bool cmp(node x, node y)
{
	return x.w < y.w;
}
int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		cin >> a[i].x >> a[i].y >> a[i].w;
	sort(a + 1, a + 1 + m, cmp);//排序
	kruskal();//开始Kruskal
	if (cnt != n - 1)//如果不连通，输出"orz"
	{
		cout << "orz";
		return 0;
	}
	cout << ans;//输出答案
	return 0;
}

-4.早就该讲的时间复杂度

排序最慢，$O(mlogm)$，所以总时间复杂度 $O(mlogm)$，大大滴快！！！

-5.经典大练习卷题

P2872 Building Roads S

P1546 最短网络

P2330 繁忙的都市

P2820 局域网

P1195 口袋的天空

P1396 营救

P1194 买礼物

P2121 拆地毯

P4047 部落划分

-6.总结

因为你学好了Kruskal最小生成树、Kruskal最小生成树、Kruskal最小生成树等高级算法，所以你才能学好Kruskal最小生成树，学好了Kruskal最小生成树，你就能学好Kruskal最小生成树，你学好了Kruskal最小生成树，所以恭喜你，你学好了Kruskal最小生成树！！！