2-SAT问题

-(-1).前置知识

逻辑运算符及逻辑运算规则
拓扑序和拓扑排序
tarjan算法与有向图的连通性（强连通分量）

-1.SAT 问题及 2-SAT 问题的定义

SAT 问题，全称为 Satisfiability 问题，中文翻译为可满足性问题，一般形式为 k-可满足性问题，简称 k-SAT 问题。

给定 $n$ 个 $b o o l$ 变量，有 $m$ 组 $b o o l$ 方程，为这些变量的取值限制，求是否存在 $n$ 个变量的合法赋值，使得 $n$ 个变量满足 $m$ 组取值限制。这就是 SAT 问题。

当每个 $b o o l$ 方程中描述的 $b o o l$ 变量的个数 $k$ 大于 $2$ 时，SAT问题被证明为一个 NPC 问题，因此无法在多项式复杂度内解决。

2-SAT 问题就是SAT问题中 $k = 2$ 的情况。这种情况可以转化为图论问题，继而在多项式复杂度内解决。该算法由 Aspvall、Plass 和 Tarjan 在 1979 年提出。

举个例子

XX教练收了五个学生，每个学生都学过OI，码风也都不相同。现在XX教练需要写一份每个学生看了都顺眼的代码，也就是满足每个人的码风其中一个习惯。XX教练很懒，所以来问你。每个人的码风如下：

第一个人
- 1.宏定义long long
- 2.压行
第二个人
- 1.大括号不单独用一行
- 2.用万能头
第三个人
- 1.宏定义long long
- 2.不用万能头
第四个人
- 1.大括号单独用一行
- 2.不压行
第五个人
- 1.不压行
- 2.不用万能头

我们不难发现，宏定义long long、不压行、大括号不单独用一行就是一组合法的解，并且解不限于此。

-2.2-SAT问题的解法

我们分析一下上一个部分的例子。

一共有四种习惯，分别是宏定义long long、压行、大括号单独用一行、用万能头。我们可以把它们看作四个变量 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 。由于每种习惯都只有两种状态：用或者不用，所以这些变量我们都可以看作是 $b o o l$ 类型的，变量前加 $\neg$ 表示对当前要求表示否定。

五个约束条件可以表示成一个 $b o o l$ 方程 $(a_{1} \lor a_{2}) \land (\neg a_{3} \lor a_{4}) \land (a_{1} \lor \neg a_{4}) \land (a_{3} \lor \neg a_{2}) \land (\neg a_{2} \lor \neg a_{4})$ 。

观察一下这些约束条件。我们拿第一个约束条件为例，宏定义long long或压行。我们稍微修改一下，如果我们不宏定义long long的话，那是不是就必须压行了呢？抽象一点，如果一个条件 $a_{i}$ 不成立，那么另一个条件 $a_{j}$ 就必须成立。这里面就带有了一种指向性（ $\neg a_{i} \to a_{j}$ ）。

于是我们可以将指向性转化为一条有向边，由 $x$ 指向 $y$ ，表示若 $x$ 成立，则 $y$ 一定成立。

把 $a_{i}$ 按照状态 $0$ 和 $1$ 拆分成两个点，状态 $1$ 表示为点 $i$ ，状态 $0$ 表示为点 $i + n$ （ $a_{i}$ 为 $b o o l$ 变量， $n$ 为变量个数）。

我们继续来看上面那个例子，将它按照这种规则建好的图是这样的

如果有一个变量的两种状态 $i$ 和 $i + n$ 能够互相到达（存在从 $i$ 到 $i + n$ 的路径也存在 $i + n$ 到 $i$ 的路径），那么 $i$ 和 $i + n$ 就是矛盾的（既要选一种状态又要选另一种状态）。也就是说，如果 $i$ 和 $i + n$ 存在于同一个强连通分量中，那么 $i$ 和 $i + n$ 就矛盾，此问题无解。