题目大意

有一个数列，初始时只有一个数 $X$。你可以对它进行一种操作：设末尾的数为 $Y$，从 $1\sim \sqrt{Y}$ 中选一个数加到数列的末尾。如此进行 ${10}^{100}$ 次操作，问数列一共有多少种可能的状态。

解法

考虑 DP。

设 $d{p}_i$ 表示以数字 $i$ 开头的数列可能的状态。设 $i$ 的下一个位置上的数为 $j$，那么显然 $d{p}_i=\sum _{j=1}^{\sqrt{i}}d{p}_j$。预处理出 $d{p}_i$，询问时，答案为 $d{p}_x$。但此时的时间复杂度为 $\mathrm{\Theta }(T+X\sqrt{X})$，对于 $X\le 9\times {10}^{18}$ 这种极大的数据范围来说，显然是不可接受的，所以我们需要考虑优化。

设 $j$ 的下一个位置上的数为 $k$，根据前面的转移方程，容易得出 $d{p}_j=\sum _{k=1}^{\sqrt{i}}d{p}_k$。我们可以考虑算贡献。贡献是指 $d{p}_k$ 对 $d{p}_j$ 的影响，也就是在所有的 $d{p}_j$ 中，有多少种状态含有 $d{p}_k$。而 $k$ 的范围是 $1\sim \sqrt{j}$，也就是 $\sqrt{j}\ge k$ 的 $d{p}_j$ 才会被 $d{p}_k$ 所影响，那么对于每一个 $d{p}_k$，所能贡献的范围就是 $k^2\sim \sqrt{i}$。这里的 $\sqrt{i}$ 就是所有 $j$ 的范围。这样只需预处理出 $d{p}_{1\sim \sqrt[4]{x}}$ 的值，每次询问时，枚举 $1\sim \sqrt[4]{x}$，也就是 $k$，将所有 $d{p}_k$ 的贡献加起来即为答案。

这里有几点细节需要注意，由于此题数据范围过大，sqrt() 的精度可能不够，需要将开根的数强制转为 long double 才行。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
int t, x, dp[N], f[N];
signed main()
{
    dp[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 1e5; i++)//预处理
        for(int j = 1; j <= sqrt((long double)i); j++)
            dp[i] += dp[j];
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> x;
        int y = sqrt((long double)x);
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= sqrt((long double)y); i++)
            ans += (y - i * i + 1) * dp[i];//dp[i]产生的贡献的范围是i * i ~ sqrt(sqrt(x))
        cout << ans << "\n";
    }
    return 0;
}