CF283C-Coin Troubles

CF283C - Coin Troubles

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题目链接

题意概要

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有$n$种硬币，每种硬币面值为$a_i$.现需要对于第$i$种硬币，选择数量$x_i$，使得$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i=t$，并且,选择硬币的数量需要满足$q$个条件:第$i$个条件提供$b_i$,$c_i$,限制$x_{b_i}>x_{c_i}$.保证所有$b_i$,$c_i$都各不相等.求选择硬币的合法总方案数,结果对${10}^9+7$取模.$(q⩽n⩽300,t⩽{10}^5)$

思路

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读懂题目之后不难发现,可以使用常见的套路(差分约束),将每一种硬币作为一个点,每一个大小关系作为一条单项边建图.因为题目中所有$b_i,c_i$都不相等,所以每个点的出度,入度最大值都为1.也就是说,这个图一定是由若干个链或者是环组成.如果出现环,可以直接判定无解,输出0.我们所要处理的情况只有若干条链. 到这里,我们还有一个关键的条件没有用到:

$$x_{b_i}>x_{c_i}$$

我们发现,这里$x$是严格递增的,也就是说如果$x_{c_i}$增加$y$, $x_{b_i}$也需要增加$y$.这等价于$a_{c_i}$的值增加了$a_{b_i}$.于是,我们可以对链从头进行一次遍历,将链上所有点的等价面值计算出来.此时,大小关系就不影响我们的选择了.因为最小拿取的数量为0,所以可能有若干硬币必须拿取一定的数量.如果必须拿取的面值大于了$t$,则说明不存在解,输出0.

在转化了所有限制条件之后,问题转化为了一个完全背包问题.DP解决即可,复杂度$O(n+t)$.

代码实现:

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#include <bits/stdc++.h>
#define MOD 1000000007
#define int long long
using namespace std;
int n, q, t, c[350], nxt[350], nc[350], dp[250000], vis[350], rd[350], f;
vector <int> st;
void solve(int x, int sum){
    if(x == 0) return;
    t -= sum;
    sum += c[x];
    nc[x] = sum;
    if(t < 0) {f = 1; return;}
    solve(nxt[x], sum);
}
signed main(){
    cin >> n >> q >> t;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> c[i]; vis[i] = i;
    }
    for(int i = 1; i <= q; i++){
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        nxt[u] = v;
        if(vis[v] == vis[u]){
            cout << 0; return 0;
        }
        vis[v] = vis[u];
        rd[v]++;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(rd[i] == 0) st.push_back(i);
    for(auto i : st) solve(i, 0);
    if(f){
        cout << 0;
        return 0;
    }
    dp[0] = 1;
    for(int j = 1; j <= n; j++)
        for(int i = 0; i <= t; i++)
            if(i + nc[j] <= t) dp[i + nc[j]] += dp[i] % MOD;
    cout << dp[t] % MOD << endl;
    return 0;
}

感想

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代码并不难写,关键在于将问题转化,解决掉不好处理的限制.