P2261 [CQOI2007]余数求和 （数论）

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题目：

题目背景

数学题，无背景
题目描述

给出正整数n和k，计算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29
输入输出格式
输入格式：

两个整数n k

输出格式：

答案

输入输出样例
输入样例#1：

10 5

输出样例#1：

29

说明

30%: n,k <= 1000

60%: n,k <= 10^6

100% n,k <= 10^9

 

思路：

有两点：（以下的除法都表示整数除法）

　　① k%n = k - k/n*n;

　　② 对于任意的正整数k，k/x的值的数量是√k级别的（1 ≤ x ≤ n）。

枚举k/x的值，则对于所有k/x的值相同的x，对应的k/x*x为一个公差为k/x的等差数列，用公式可以O(1)求出和。

总复杂度为O(√k)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
#define min(a, b) a<b?a:b

ll N, k, ans;
int main()
{
    cin >> N >> k;
    ans = N*k;
    for (int x = 1, gx; x <= N; x = gx+1) {
        gx = k/x ? min(k/(k/x), N) : N;
        ans -= (k/x) * (x+gx) * (gx-x+1) / 2;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}