P2331 [SCOI2005]最大子矩阵 (动规:分类讨论状态)
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题目:
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题目描述 这里有一个n*m的矩阵,请你选出其中k个子矩阵,使得这个k个子矩阵分值之和最大。注意:选出的k个子矩阵不能相互重叠。 输入输出格式 输入格式: 第一行为n,m,k(1≤n≤100,1≤m≤2,1≤k≤10),接下来n行描述矩阵每行中的每个元素的分值(每个元素的分值的绝对值不超过32767)。 输出格式: 只有一行为k个子矩阵分值之和最大为多少。 输入输出样例 输入样例#1: 复制 3 2 2 1 -3 2 3 -2 3 输出样例#1: 复制 9
PS:好像有很多类似的题目,上次的那道中国象棋(放炮的)也是,都是分类讨论多种情况就好了。
思路:
注意到m ≤ 2,所以可以按行dp,分类讨论转移的情况。
① 当前行不选;
② 当前行选左边;
③ 当前行选右边;
④ 当前行两个都选,但是作为两个矩阵;
⑤ 当前行两个都选,作为同一个矩阵;
以上的m = 2时的情况,m = 1时更简单,只有选或者不选,就不赘述了。
状态:
f[i][j][k] 表示当前第i行,构造了j个矩阵,当前行的状态为k,(k = 0 - 4对应上面的① - ⑤)
状态转移方程很容易得出,见代码。
时间复杂度是O(NM4K)
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#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; const int MAX_N = 100 + 5; const int MAX_M = 2 + 1; const int MAX_K = 15 + 1; inline void tomax(int&a, int b) { a = max(a, b); } int mat[MAX_N][MAX_M]; int f[MAX_N][MAX_K][5]; int main() { int N, M, K; cin >> N >> M >> K; for (int i = 1; i <= N; i++) for (int j = 1; j <= M; j++) scanf("%d", &mat[i][j]); memset(f, -INF, sizeof f); for (int i = 0; i <= N; i++) for (int j = 0; j <= K; j++) f[i][j][0] = 0; if (M == 1) { for (int i = 1; i <= N; i++) for (int j = 1; j <= K; j++) { tomax(f[i][j][0], f[i-1][j][0]); tomax(f[i][j][0], f[i-1][j][1]); if (j-1 >= 0) tomax(f[i][j][1], f[i-1][j-1][0]); tomax(f[i][j][1], f[i-1][j][1]); f[i][j][1] += mat[i][1]; } cout << max(f[N][K][0], f[N][K][1]) << endl; return 0; } for (int i = 1; i <= N; i++) { for (int j = 1; j <= K; j++) { for (int k = 0; k <= 4; k++) { //0:当前行不选 tomax(f[i][j][0], f[i-1][j][k]); //1:当前行选左边 if ((k == 0 || k == 2 || k == 4) && (j-1 >= 0)) tomax(f[i][j][1], f[i-1][j-1][k]); else if (k == 1 || k == 3) tomax(f[i][j][1], f[i-1][j][k]); //2:当前行选右边 if ((k <= 1 || k == 4) && j-1 >= 0) tomax(f[i][j][2], f[i-1][j-1][k]); else if (k == 2 || k == 3) tomax(f[i][j][2], f[i-1][j][k]); //3:当前行左右都选(分开) if ((k == 0 || k == 4) && j-2 >= 0) tomax(f[i][j][3], f[i-1][j-2][k]); else if ((k == 1 || k == 2) && j-1 >= 0) tomax(f[i][j][3], f[i-1][j-1][k]); else if (k == 3) tomax(f[i][j][3], f[i-1][j][k]); //4:当前行左右都选(一起的) if (k != 4 && j-1 >= 0) tomax(f[i][j][4], f[i-1][j-1][k]); else if (k == 4) tomax(f[i][j][4], f[i-1][j][k]); } f[i][j][1] += mat[i][1];//1:当前行选左边 f[i][j][2] += mat[i][2];//2:当前行选右边 f[i][j][3] += mat[i][1] + mat[i][2];//3:当前行左右都选(分开) f[i][j][4] += mat[i][1] + mat[i][2];//4:当前行左右都选(一起的) } } int ans = -INF; for (int k = 0; k <= 4; k++) tomax(ans, f[N][K][k]); cout << ans; return 0; } /* 3 1 2 1 -1 2 */