洛谷P1415 拆分数列（dp）

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题目：

题目背景

【为了响应党中央勤节俭、反铺张的精神，题目背景描述故事部分略去^-^】
题目描述

给出一列数字，需要你添加任意多个逗号将其拆成若干个严格递增的数。如果有多组解，则输出使得最后一个数最小的同时，字典序最大的解（即先要满足最后一个数最小；如果有多组解，则使得第一个数尽量大；如果仍有多组解，则使得第二个数尽量大，依次类推……）。
输入输出格式
输入格式：

共一行，为初始的数字。

输出格式：

共一行，为拆分之后的数列。每个数之间用逗号分隔。行尾无逗号。

输入输出样例
输入样例#1： 

[1]
3456
[2]
3546
[3]
3526
[4]
0001
[5]
100000101

输出样例#1： 

[1]
3,4,5,6
[2]
35,46
[3]
3,5,26
[4]
0001
[5]
100,000101

说明

【题目来源】

lzn改编

【数据范围】

对于10%的数据，输入长度<=5

对于30%的数据，输入长度<=15

对于50%的数据，输入长度<=50

对于100%的数据，输入长度<=500

 

　　dp练得还是太少了呀。其实复杂dp和大模拟很像，要从每个细节考虑，逐个击破，囫囵吞枣使不得。刚开始我乍一看贪心可用，强行贪心搜索，实际上时间复杂度没考虑，很多细节也没考虑到。。。而且搜索写得还很麻烦，写完了还很多bug，加了一通乱七八糟的特判，最后还是以WA告终。。。

思路：

·第一步：

　　根据题意，当然要先找最小的最后一个数。本来想贪心地从后开始搜索，第一个满足条件的就是最小，但是发现遇到0的时候状况千变万化，很难控制：比如：

　　100 000 104 123

　　搜索过程中会出现以下的情况：

　　① 100000 > 104，不满足

　　② 10000 > 0104，不满足

　　③ 1000 > 00104，不满足

　　像这样，连续出现的0会导致每次搜索失败都要回到之前的位置101，而不能直接回到最后一个数123，这就导致这样搜索的时间复杂度是指数级的，不可用。

　　但是从后往前找又想不到什么办法记录状态，不能用dp来做，僵硬。。。

　　于是想到考虑一个子问题：

　　子串被分割成若干个严格递增的数后，使得最后一个数最小时，找到最小的最后一个数。

　　然后可以惊奇地发现，如果之前的所有子串都计算完了，长度+1之后可以利用之前的结果：

　　假设当前位置是i，如果[0, j-1]的子串的最小的最后一个数是a，那么只要a < [j, i]的子串对应的数，那么到位置i为止的最后一个数就可以是[j, i]，只要从后往前枚举j，找到的第一个满足条件a < [j, i]的j，对应的[j, i]就是要找的最小的数了，时间复杂度大概是O(n²)。

　　不过这还没完。“如果有多组解，使得第一个数尽量大”。。。

 

·第二步：

　　我们想要找到最大第一个数，首先就要使第二个数尽量大，然后在这之前要使第三个数尽量大，再在之前就是第四个数尽量大。。。。所以考虑从后往前找，但是直接跑一遍还是会遇到刚开始的搜索的问题（多个零导致指数级时间），比如：

　　1234765

　　最后一个数最小是765，然后往前贪心的话找到的会是最大的234，但是234被用掉之后第一个只剩下1。而我们可以发现12，34，765也是满足题意的，12显然比1大，不妥QWQ。

　　对于每个位置的决策，不仅仅取决于右边相邻的一个位置，还取决于右边的右边，以及右边的右边的右边……的位置。于是还是要回到动态规划上面来。重复利用之前的状态：

　　对于每个位置j，子串[j, N]的第一个数会有一个最大值（当然是在第一步割出最小的最后一个数之后），这个最大值可以用于更新在位置j之前的所有位置i的对应子串[i, N]的第一个数的最大值。

状态&状态转移方程见代码

时间复杂度是O(n²)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAX_N = 505;

string s;
int a[MAX_N], len;
int st[MAX_N], ed[MAX_N];
//st 开始坐标， ed 结束坐标

bool cmp(int st1, int ed1, int st2, int ed2)
{
    while (st1 <= ed1 && a[st1] == 0)
        st1++;
    while (st2 <= ed2 && a[st2] == 0)
        st2++;
    int len1 = ed1 - st1 + 1;
    int len2 = ed2 - st2 + 1;
    if (len1 < len2)
        return true;
    if (len1 > len2)
        return false;
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        if (a[st1+i] < a[st2+i])
            return true;
        if (a[st1+i] > a[st2+i])
            return false;
    }
    return false;
}

void dp2()
{
    memset(ed, 0, sizeof ed);
    ed[st[len]] = len;
    int ind = st[len]-1;
    while (ind >= 1 && !a[ind])
        ed[ind--] = len;
    for (int i = st[len]-1; i >= 1; i--) {
        ed[i] = max(ed[i], i);
        for (int j = st[len]-1; j > i; j--)
            if (cmp(i, j, j+1, ed[j+1])) {
                ed[i] = max(ed[i], j);
                break;
            }
    }
}

void dp()
{
    st[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= len; i++) {
        st[i] = 1;
        for (int j = i; j >= 2; j--)
            if (cmp(st[j-1], j-1, j, i)) {
                st[i] = j;
                break;
            }
    }
}

int main()
{
    cin >> s;
    len = s.size();
    for (int i = 0; i < len; i++)
        a[i+1] = s[i] - '0';
    dp();
    dp2();
    bool firstprint = true;
    for (int i = 1; i <= len; i++) {
        if (firstprint)
            firstprint = false;
        else
            putchar(',');
        for (int j = i; j <= ed[i]; j++) {
            putchar(s[j-1]);
        }
        i = ed[i];
    }
    cout << endl;
    return 0;
}