洛谷P2051 中国象棋（dp）

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题目大意：

　　在N行M列的棋盘中放象棋中的“炮”，问要使得“炮”两两互不伤害，有多少种放法。

　　1 ≤ n，m ≤ 100，答案对9999973取模。

思路：

　　按行更新答案。每行炮可以放在空列（下称A列）和有一个炮的列（下称B列），从而生成B列和有两个炮的列（C列），所以更新行的时候有这样几种选择：

①不放“炮”；

②选一个A列放一个“炮”，生成一个B列；

③选一个B列放一个“炮”，生成一个C列；

④选两个A列放一个“炮”，生成两个B列；

⑤选两个B列放一个“炮”，生成两个C列；

⑥选一个A列和一个B列各放一个“炮”，生成一个B列和一个C列；（注意在同一行不能放两个棋子在同一列，所以不能看作用一个A列生成一个C列）

考虑到各行各列的顺序与答案无关：

状态：

　　f[i][j][k]：第i行有j个B列和k个C列。

初始状态：

　　f[0][0][0] = 1;

状态转移方程：

　　①f[i][j][k] = f[i-1][j][k];

 

　　②f[i][j][k] = f[i-1][j-1][k] ×（i-1行A列个数）;

　　③f[i][j][k] = f[i-1][j+1][k-1] ×（i-1行B列个数）;

　　④f[i][j][k] = f[i-1][j-2][k] ×（i-1行A列个数选2）;

　　⑤f[i][j][k] = f[i-1][j+2][k-2] ×（i-1行B列个数选2）;

　　⑥f[i][j][k] = f[i-1][j][k-1] ×（i-1行A列个数）×（i-1行B列个数）;

注意边界和取模即可。

 

时间复杂度：O(nm²)

 

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 105;
const int MOD = 9999973;

ll f[MAX_N][MAX_N][MAX_N];

inline int C(int n)
{//n选2
    return n*(n-1)/2;
}

int main()
{
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    f[0][0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 0; j <= M; j++) {
            for (int k = 0; k+j <= M; k++) {
                //放1个
                if (j-1 >= 0 && (M-(j-1+k)) >= 1)
                    f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i-1][j-1][k] * (M-(j-1+k))) % MOD;
                if (j+1 <= M && k >= 1)
                    f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i-1][j+1][k-1] * (j+1)) % MOD;
                //放两个
                if (j-2 >= 0 && (M-(j-2+k)) >= 2)
                    f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i-1][j-2][k] * C(M-(j-2+k))) % MOD;
                if (k >= 1 && (M-(j+k-1)) >= 1 && j >= 1)
                    f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i-1][j][k-1] * (M-(j+k-1)) * j) % MOD;
                if (k >= 2)
                    f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i-1][j+2][k-2] * C(j+2)) % MOD;
                //不放
                f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i-1][j][k]) % MOD;
            }
        }
    }
    ll ans = 0;
    for (int j = 0; j <= M; j++)
        for (int k = 0; k+j <= M; k++)
            ans = (ans + f[N][j][k]) % MOD;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}