原根

引入问题 :

给定一个奇素数 \(p\)，求 \(p\) 最小的原根 \(g\)。

对于一个质数，它的原根 \(g\) 需要满足什么条件？

对于 \(k \in [1, p - 1]\)，\(g^k\) 完美遍历了 \([1, p - 1]\) 的所有数。（\(g^k\) 两两不相等）

如何快速判断一个数 \(x\) 是否是原根？

根据费马小定理可得 \(x^{p - 1} \equiv 1 \pmod p\)，即任意数 \(x\) 至少有一个长度为 \(p - 1\) 的循环节。

如果还会出现小于 \(p - 1\) 的循环节，这个循环节的大小一定会整除 \(p - 1\)。（循环节倍长还是循环节）

令 \(a_i\) 为 \(p - 1\) 的质数因子。

如果出现了了小于 \(p - 1\) 的循环节，一定会有一个长度为 \(\frac {p - 1} {a_i}\) 的循环节，即 \(x^{\frac {p - 1} {a_i}} \equiv 1 \pmod p\)。

先 \(O(\sqrt n)\) 预处理出 \(p - 1\) 的质数因子，这样就可以在 \(O(\log^2 n)\) 的时间复杂度内判断一个数是不是原根了。

怎么求最小的原根？

暴力枚举！

由于原根的密度很大，最小原根的大小大约是 \(n^{0.25}\) 级别的，所以暴力枚举再判断就行。

推广 : 对于一个合数求原根，只需要把上面的 \(p - 1\) 换成 \(\varphi (n)\) 即可。

应用

\(x^c \equiv m \pmod p\)

给定 \(p\), \(m\), \(c\)，求 \(x\)。

利用 \(g^k \equiv x\)，有 \((g^c)^k \equiv m \pmod p\)。

由于 \(g^c\) 是一个确定的值，那么问题就转化成求 \(k\) 了，直接 bsgs 即可。

但好像上面这个问题有 polylog 的做法

\(x^c \equiv m \pmod p\)，若 \(c \times k \equiv 1 \pmod{\varphi (p)}\)，则 \(x \equiv m^k \pmod p\)。