矩阵入门

什么是矩阵

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵(摘自某百科)

\(n\) 行 \(m\) 列的矩阵大概长这个样子 :

\[A = \left[\begin{array}{c} a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,m}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,m}\\ a_{3,1}& a_{3,2}&\cdots&a_{3,m}\\ \cdots&\cdots& &\cdots\\ a_{n,1}& a_{n,2}&\cdots&a_{n,m} \end{array}\right] \]

这 \(n \times m\) 个数称为矩阵 \(A\) 的元素，简称为元

数 \(a_{i,j}\) 位于矩阵的第 \(i\) 行第 \(j\) 列

定义一个矩阵类 :

struct matrix {
	int r, c; // 矩阵的行与列
	int a[N][M];
	inline matrix(int _r = 0, int _c = 0) {
		r = _r, c = _c;
		memset(a, 0, sizeof a);
	}
}

矩阵的基本运算

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加法

注意 : 只有相同大小的矩阵才可以相加

\[\left[\begin{array}{c} 1&4\\ 3&2 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 4&2\\ 5&7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 5&6\\ 8&9 \end{array}\right] \]

代码实现 :

matrix add(matrix A, matrix B) {
	matrix C(A.r, A.c);
	for(int i = 0; i < C.r; ++i) // 枚举矩阵 C 的行
	  for(int j = 0; j < C.c; ++j) // 枚举矩阵 C 的列
	  	C.a[i][j] = A.a[i][j] + B.a[i][j];
	return C;
}

矩阵的加法满足交换律和结合律

即 :

\(A + B = B + A\)

\((A + B) + C = A + (B + C)\)

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减法

与加法类似， 只有相同大小的矩阵才可以相减

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数乘

设 \(\lambda\) 为常数，矩阵数乘即把矩阵每一个数乘上一个 \(\lambda\)

\[2 \times \left[\begin{array}{c} 1&4\\ 3&2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 2&8\\ 6&4 \end{array}\right] \]

矩阵数乘满足结合律和分配率

即 :

\(\lambda(\mu A) = \mu(\lambda A)\)

\(\lambda (\mu A) = (\lambda \mu)A\)

\((\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A\)

\(\lambda (A + B) = \lambda A + \lambda B\)

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矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算

其实感觉矩阵加减法只是做了 n * m 次普通的加减法

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乘法

重点，很有用

两个矩阵的乘法当且仅当第一个矩阵 \(A\) 的列数，和另一个矩阵 \(B\) 的行数相等时才能定义

如 \(A\) 是 \(n \times m\) 的矩阵，\(B\) 是 \(m \times p\) 的矩阵，它们的乘积 \(C\) 是一个 \(n \times p\) 的矩阵

它的一个元素 :

\[c_{i, j} = \sum_{k = 1}^{m}a_{i, k} b_{k, j} \]

代码实现 :

matrix mul(matrix A, matrix B) {
	matrix C(A.r, B.c);
	for(int i = 0; i < C.r; ++i) // 枚举矩阵 C 的行
	  for(int j = 0; j < C.c; ++j) // 枚举矩阵 C 的列
		for(int k = 0; k < A.c; ++k) // 上面式子中 k = A.c
		  C.a[i][j] += A.a[i][k] * B.a[k][j];
	return C;
}

注意 : 矩阵的乘法不满足交换率，但满足结合率和分配率

即 :

\(A B \neq B A\)

\((A B) C = A (B C)\)

\((A + B)C = AC + BC\)

\(C(A + B) = CA + CB\)

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快速幂

由于矩阵乘法具有结合率，当我要计算一个矩阵的 \(n\) 次方时，可以运用到快速幂的思想

\[A^n = \left\{\begin{array}{l}A^{\lfloor\frac n 2\rfloor} \cdot A^{\lfloor\frac n 2\rfloor} & k是偶数 \\A^{\lfloor \frac n 2\rfloor} \cdot A^{\lfloor\frac n 2\rfloor} \cdot A & k是奇数\end{array}\right. \]

原来乘法求 \(A^n\) 的复杂度是 \(O(s^3n)\) // \(s\) 为矩阵大小

现在只要 \(O(s^3logn)\) 就可以求 \(A^n\) 了

代码实现 :

matrix mat_fpm(matrix bs, int mi) {
	matrix res = e; // e 为单位矩阵 (主对角线全 1)
	while(mi) {
		if(mi & 1) res = mul(res, bs);
		bs = mul(bs, bs), mi >>= 1;
	}
	return res;
}

模板 : 洛谷P3390

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