AtCoder Regular Contest 解题报告

好久没写 At 题解了，而且从来没写过 ARC 的题解，今天就来写一发。

这场是我有史以来表现分最高的一场，唯一可惜的就是考场上没时间写 E 了，不然差不多能进前 100。

A - Three Integers

题意简述

给你三个数 $A, B, C \in [0,10^{18}]$ 。
你可以做以下两种操作：

选其中两个数，让它们减去 $1$ 。
让全部三个数减去 $1$ 。

问最少几步可以让这三个数都变成 $0$ 。

解体思路

贪心，尽可能多地用操作 $2$ 。
由于操作顺序无关紧要，我们先做完所有的操作 $2$ 。
接下来只用操作 $1$ ，容易发现当且仅当 $A+B+C\equiv0 \pmod 2$ 并且 $A,B,C$ 中较小的两个数之和大于等于最大的数时，只用操作 $1$ 有解。
然后嗯做就可以了，懒得再写了，具体看代码吧。

参考代码

#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using i64 = long long;
using vint = std::vector<int>;
using PII = std::pair<int, int>;

int main(void)
{
	//Think twice, code once.
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	i64 a[3];
	std::cin >> a[0] >> a[1] >> a[2];
	i64 x = a[0] + a[1] + a[2];
	std::sort(a, a + 3);
	i64 res = 0;
	if (x & 1) {
		++res;
		for (int i = 0; i < 3; ++i)
			--a[i];
	}
	if (a[0] < 0) {
		puts("-1");
		return 0;
	}
	i64 k = (a[0] + a[1] - a[2]);
	if (k < 0) {
		puts("-1");
		return 0;
	}
	k = k / 2 * 2;
	res += k;
	for (int i = 0; i < 3; ++i)
		a[i] -= k;
	res += (a[0] + a[1] + a[2]) / 2;
	std::cout << res << '\n';
	return 0;
}

B - Counting Grids

题意简述

给定一个 $n \in [1,500]$ ，你要把 $1\sim n^2$ 填入大小为 $n \times n$ 的方阵中，满足对于任意一个格子，至少满足以下两个条件之一：

不是它所在列的最小值。
不是它所在行的最大值。

问有多少种方案，对 $998244353$ 取模。

解体思路

明显很难直接求，考虑相反的情况：
存在一个格子，它是所在列的最小值，也是所在行的最大值。
反证法容易证明这种格子不可能同时存在两个，那我们直接枚举这个格子的值，设其为 $x$ ，它的位置有 $n^2$ 种，它所在列只能有比他大的值，所以只有 ${x - 1\choose n-1} \times (n - 1)!$ 种可能，同列它所在列只有 ${n - x \choose n - 1} \times (n - 1)!$ 种可能，其余数可以随意排列，有 $(n^2 - 2n + 1)!$ 种可能。综上，相反情况的方案数就是

\sum_{x = 1}^{n^{2}} n^{2} \times (\binom{x - 1}{n - 1}) \times (n - 1)! \times (\binom{n - x}{n - 1}) \times (n - 1)! \times (n^{2} - 2 n + 1)!

$\sum_{x=1}^{n^2}n^2\times{x - 1\choose n-1} \times (n - 1)!\times{n - x \choose n - 1} \times (n - 1)!\times(n^2 - 2n + 1)!$

用 $(n^2)!$ 减去上述式子即为答案。

参考代码

#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using i64 = long long;
using vint = std::vector<int>;
using PII = std::pair<int, int>;
const int N = 500 * 500 + 10, mod = 998244353;
inline int Mod(int x) { return x >= mod ? x - mod : x; }

struct ModInt
{
	int val;
	ModInt(void) { val = 0; }
	ModInt(int x) { val = x; }
	ModInt operator+(const ModInt &other) const
	{ return Mod(val + other.val); }
	ModInt operator-(const ModInt &other) const
	{ return Mod(val + mod - other.val); }
	ModInt operator*(const ModInt &other) const
	{ return 1ll * val * other.val % mod; }
};

ModInt fac[N], inv[N];
inline ModInt qpow(ModInt base, int k)
{
	ModInt res = 1;
	while (k) {
		if (k & 1) res = res * base;
		k >>= 1;
		base = base * base;
	}
	return res;
}
inline ModInt getInv(ModInt x) { return qpow(x, mod - 2); }
inline ModInt C(int n, int m)
{
	if (n < m || n < 0 || m < 0) return 0;
	return fac[n] * inv[m] * inv[n - m];
}

int main(void)
{
	//Think twice, code once.
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i < N; ++i)
		fac[i] = fac[i - 1] * i;
	inv[N - 1] = getInv(fac[N - 1]);
	for (int i = N - 2; i >= 0; --i)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1);

	int n; std::cin >> n;
	ModInt res;
	for (int i = 1; i <= n * n; ++i) {
		ModInt o = n * n;
		o = o * C(i - 1, n - 1) * fac[n - 1];
		o = o * C(n * n - i, n - 1) * fac[n - 1];
		o = o * fac[n * n - (n + n - 1)];
		res = res + o;
	}
	std::cout << (fac[n * n] - res).val << '\n';
	return 0;
}