「笔记」线性代数

学了一下线性代数。
略作了解吧算是。

一、矩阵

1.定义：\(A\)表示一个有\(n\)行\(m\)列个数的矩阵。

\(n=m\)时也可称作方阵。

2.线代中的矩阵乘法

定义乘法符号为\(*\)

\[C=A*B \]

\[c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j} \]

3.单位矩阵

不同的矩阵乘法定义出不同单位矩阵。
线代中的就是对交线为1，其余均为0的矩阵，称为\(I\)。

4.各种定义

\(fr\).\(A^T\)表示\(A\)的转置，相当于交换行列进行翻转。
同时有：$$A*B=C\rightarrow A^T*BT=C^T$$
\(se\).\(A^{-1}\)表示矩阵\(A\)的逆矩阵,有\(A*B=I\)。
求法：对\(A\)消元，同时对\(I\)进行同样的初等行列变换，最终\(A\rightarrow I\),\(I\rightarrow A^{-1}\)

二、行列式

1.定义：

定义一个方阵\(A=\{a_{ij}\}\)的行列式为\(\left|a_{ij}\right|\)。
设一个长度为\(n\)的序列的排列为\(\{p_i\}\),其逆序对个数为\(\sigma(p)\)。
行列式的值为：

\[\left|a_{ij}\right|=\sum\limits_{p}(-1)^{\sigma(p)}\prod\limits_{i=1}^{n}a_{ip_i} \]

上三角行列式的值为：

\[\prod\limits_{i=1}^{n}a_{ii} \]

2.性质

然后就是几个性质：
\(fr\).行列互换不改变行列式的值
代入定义可以验证。
\(se\).交换两行/列，行列式的值取反。
证明：
引理：对于一个排列\(p\),交换两个位置，逆序对个数奇偶性取反。
假设我们交换的\(a,b\)是相邻的。
那么：\(a<b\)时逆序对+1，\(a>b\)时，逆序对-1，奇偶性必然改变。
现在的情况是有可能不相邻，那么可以认为是\(a\)右移，而\(b\)左移。
发现这个过程中，交换的次数一定是奇数次。
那么奇偶性改变的次数是奇数次，那么整个排列的逆序对奇偶性必然改变。
引理得证。
那么我们交换两行\(i,j\)其实就是相当于交换了\(p_i\)和\(p_j\)，也就是说\(\prod\)后边的部分的值不改变。
所以改变的部分只有\(\sigma(p)\)，这会使得(-1)的正负取反，那么行列式的正负随之取反。
得证。
\(th\).将行列式的一行/列乘上常数\(c\)，行列式的值也乘上\(c\)。
代入定义可以验证。
\(fo\).将行列式的一行加到另一行上，行列式的值不变。
（抄一下大神风月马前卒的证明）
证明：
引理1：两行相同的行列式，值为0
行列式的每一项都存在一项值和他相反，因为交换\(p_i,p_j\)是只改变行列式的正负。
引理2：行列式的某一行\(a_i=b_i+c_i\)，我们可以只改变这一行，
使得：\(\left|C\right|=\left|A\right|+\left|B\right|\)
那么：对于两行\(a,b\),我们相当于加出了一个\(c\)出来。
也就是说变换之后的值\(\left|C\right|=\left|A\right|+\left|B\right|\)
这样的话，\(A\)中的存在两行是一样的，所以\(\left|A\right|=0\)。
而我们的\(B\)相当于是原方阵,而\(\left|C\right|=\left|B\right|\)
所以行列式的值不变。
也就是说，
对于行列式做初等行变换不会使得行列式的值发生变化，那么我们用高斯消元把方阵消成上三角即可求行列式的值了。

三、拉普拉斯展开

1.余子式：

设\(M_{ij}\)为方阵\(A\)删掉第\(i\)行第\(j\)列后剩余的矩阵,也称作余子式。

2.伴随矩阵：

设一个矩阵\(A\)代数余子式为\((-1)^{i+j}M_{ij}\)
那么伴随矩阵\(A^{*}\)的每个位置上是这个位置的代数余子式。
如何求伴随矩阵呢？
有这样一个结论：

\[A^{*}=\left(\frac{A^{-1}}{|A|}\right)^{T} \]

这样的话可以用矩阵求逆来求伴随矩阵

3.拉普拉斯展开：

\[\forall i\in[1,n],|A|=\sum\limits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} \]

不证了太难证了。
这相当于是求行列式的递归形式。
有什么用呢？
这可以让我们求出伴随矩阵之后，任意的修改矩阵的某一行然后\(O(n)\)的算出矩阵的行列式。

四、矩阵树定理(参考露迭月)

1.基尔霍夫矩阵

对于一个无自环无向图\(G\)。
设：

\[D(G)= \begin{cases}d_j&,i=j\\ 0&,i\not=j\end{cases}\]

\[A(G)=E(G) \]

那么基尔霍夫矩阵\(K(G)=D(G)-A(G)\)
\(|K(G)|=0\)
发现行和为0，消元作初等行变换，而由于行和均为0，所以不改变行和，那么\(K(G)_{nn}\)必然为0，行列式也为0。

2.矩阵树定理

一个无自环无向图\(G\)，设其余子式为\(M_{ij}\)。
其生成树个数为：\(\left|M_{ij}\right|\)

五、特征多项式

1.Cayley−Hamilton定理

对于一个\(n\)阶方阵\(A\)，其特征多项式为：

\[F(\lambda)=|\lambda I-A|=\lambda^n+\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_{n-i}\lambda^i \]

不会证（bushi）。

2.求特征多项式

我们得到的特征多项式有n项，我们只需要得到n+1个点值即可。
每次代入不同的\(\lambda\)然后消行列式得到点值，然后用拉格朗日插值插出这个多项式即可。

六、常系数齐次线性递推