「笔记」伯努利数

今天刚学了怎么求。

这个东西是伯努力打表的时候发现的。

他打自然数幂和的表。

也就是$f_d(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}i^d$

发现如果转化成关于$n$的多项式，系数存在规律。

也就是：

$$f_d(n)=\frac{1}{d+1}\sum\limits_{i=0}^{m}\binom{m+1}{i}B_i n^{m+1-i}$$

然后根据这个东西可以推出(太难推了不写了)：

$$\sum\limits_{i=0}^{n}B_i\binom{n+1}{i}=0\ (n>0)$$

 

怎么求？

$$\sum\limits_{i=0}^{n-1}B_i\binom{n}{i}=0\ (n>1)$$

$$\sum\limits_{i=0}^{n}B_i\binom{n}{i}=B_n$$

也就是说：

$$\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{B_i}{i!(n-i)!}=\frac{B_n}{n!}$$

构造指数生成函数:

$$F(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{B_i}{i!}x^i$$

我们知道:

$$e^x=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{x^i}{i!}$$

那么：

$$F(x)*(e^x)=F(x)+x$$

因为$n=1$的时候两边正好差了1，所以差了一个$x$。

那么：

$$F(x)=\left(\frac{e^x-1}{x}\right)^{-1}$$

这样多项式求逆之接搞就$O(nlogn)$了。

 

事实上伯努利数有两种。

分别是$B^{+}$和$B^{-}$

$B^{+}$用来求$\sum\limits_{i=0}^{n-1}i^d$。

而$B^{-}$用来求$\sum\limits_{i=1}^{n}i^d$。

同时$B_i^{+}=(-1)^{i}B_i^{-}$，也就是说只有第一项是不一样的。