「刷题」在美妙的数学王国中畅游

THUWC2017的题。

好像不是很难，只要稍会导数基本就是切了。。

而且还给了泰勒展开的式子。

就更容易了。

首先对于三个式子求高阶导数。

导到15.16次就差不多了。

1.$f(x)=sin(ax+b)$

$$D^{(1)}[sin(ax+b)]=acos(ax+b)$$

$$D^{(2)}[sin(ax+b)]=-a^2sin(ax+b)$$

$$D^{(3)}[sin(ax+b)]=-a^3cos(ax+b)$$

$$D^{(4)}[sin(ax+b)]=a^4sin(ax+b)$$

发现规律了。

$$D^{(i)}[sin(ax+b)]=\begin{cases} &a^icos(ax+b)&i=4k+1\\&-a^isin(ax+b)&i=4k+2\\&-a^icos(ax+b)&i=4k+3\\&a^isin(ax+b)&i=4k\end{cases}$$

2.$f(x)=e^{ax+b}$

设$g(x)=ax+b,h(x)=e^{x}$

$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&D[h(g(x))]\\&=&D[h[g(x)]]D[g(x)]\\&=&ae^{ax+b}\end{array}$$

所以

$$D^{(i)}[f(x)]=a^ie^{ax+b}$$

 

3.$f(x)=ax+b$

$$D^{(i)}[f(x)]=a$$

 

他还给了泰勒展开的式子，直接从0开始导即可。

泰勒展开是：
$$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{D^{(i)}[f(x)]x^i}{i!}$$

然后把每个函数泰勒展开成多项式，求出每一项的系数，然后利用$LCT$链上求系数和直接暴力维护即可。

复杂度$O(16nlogn)$