「2019.8.9 考试」神仙的dp总让人无所适从

　　T1是个容斥，我掐手指一算他为了卡容斥的正确性，绝不会把n和m出的很相近（$O(n^2)$算法在nm相等的时候达到最高时间复杂度），不然就太好做了，于是开了特判+各种卡常和滚动数组优化，卡到了70分，$n^2$过100000，暴力碾标算。T2十三分钟AC没啥说的，也就是审题吧。大概是个flag了。T3的话自以为状压拿了50，看来是我太天真了。WA了10分，QJ的另外10分没拿到noooooooo。其实是题意理解有偏差。

 

T1想了好久组合数没有想到，T2直接秒掉，T3打了半天废的，大概这就是命吧，下次目标就是A掉T1，（这么多场从没A过T1。。）

 

下面是题解：

T1：考虑大力容斥，考场上一直在想怎么挖掉dp的一维，最终发现不可挖，就直接过了，没有想容斥，其实挺好想的。

$ans=C_{m-n+n-1}^{n-1}+\sum \limits_{i=1}^{min(n,m/K)}(-1)^iC_{m-n+(n-1)-iK}^{n-1}C_n^i$

$ans=C_{m-1}^{n-1}+\sum \limits_{i=1}^{min(n,m,K)}(-1)^iC_{m-1-iK}^{n-1}C_n^i$

O(m)容斥既可。

 

T2：老套路建反图Tarjan缩点+拓扑+dp即可。

设$dp[i]$为第i个的SCC完全被轰炸所需要的时间。

$dp[i]=\max \limits_j^{e(i,j)} dp[j]+sz[i]$

$ans=\max \limits_{i=1}^{n} dp[i]$

 

T3是个神仙dp，是真的神仙。

看了标程序才弄明白。

大体思路是用一个类似背包的东西把n个人的贡献压到一起，真正做到了一个数组来表现n个人除了多少个剪刀石头布的意义，同时用下一次的决策来统计答案，在最后错排来达到压在一起之后的离散，从而乘上正确的概率。

具体来说，将状态$i,j,k$分成两种，已经确定当前次的决策的和未确定当前次决策的，一个已确定决策的可以由未确定状态的当前阶段状态转移过来，同时也可以由相同决策的较低阶段状态转移过来。

前者的转移直接乘上当前人的概率即可，表示这个人作为当前的决策士兵来转移;后者的转移表示的是当前士兵作为之前某一阶段的士兵插在当前决策的前面，所以用相同决策的上一阶段状态来转移。这是理性的理解。

感性理解一下，一个状态可以由他之前的所有状态转移而来，当前阶段的无决策状态转移到我身上毫无疑问，而那些同决策上一阶段的状态转移到我身上，其实也是转移到他们身上的上一阶段无决策状态借此机会转移到了我身上，而他们身上的状态其实是无状态的转移“前缀和”，所以当前这个状态通过一系列的转移最终的到了各个阶段的无决策状态的转移。

 

　　理解的快感，让我难以自拔。