「刷题」 关于线段上的整点个数

　　今天学长说了个结论是 $ num=gcd(x_1-x_2,y_1-y_2) $

现在我试着证明一下。

证明：

　　令 $ x=x_1-x_2 , y=y_1-y_2 $

　　令 $ d=gcd(x,y) $

　　$ x=pd , y=qd $

　　令直线上某一点为$ (a,h) $

　　由相似三角形可得：

　　$ \frac{a}{x} = \frac{h}{y} $

　　$ a=\frac{hx}{y}=\frac{hpd}{qd}=\frac{hp}{q} $

　　那么$ ans $也就是对于$ 1<=h<=y $来说，有多少个$ a $是整数了。

　　即：

　　$ ans=\sum \limits_{i=1}^y [q|ip] $

　　$ gcd(q,p)==1 $

　　$ ans=\sum \limits_{i=1}^y [q|i] $

　　$    =\sum \limits_{i=1}^{qd} [q|i] $

　　$    =\sum \limits_{i=1}^{d} $

　　$    =d $

　　$    =gcd(x,y) $

证毕。