「刷题」 关于线段上的整点个数

　　今天学长说了个结论是 $num=gcd(x_1-x_2,y_1-y_2)$

现在我试着证明一下。

证明：

　　令 $x=x_1-x_2 , y=y_1-y_2$

　　令 $d=gcd(x,y)$

　　$x=pd , y=qd$

　　令直线上某一点为$(a,h)$

　　由相似三角形可得：

　　$\frac{a}{x} = \frac{h}{y}$

　　$a=\frac{hx}{y}=\frac{hpd}{qd}=\frac{hp}{q}$

　　那么$ans$也就是对于$1<=h<=y$来说，有多少个$a$是整数了。

　　即：

　　$ans=\sum \limits_{i=1}^y [q|ip]$

　　$gcd(q,p)==1$

　　$ans=\sum \limits_{i=1}^y [q|i]$

　　$=\sum \limits_{i=1}^{qd} [q|i]$

　　$=\sum \limits_{i=1}^{d}$

　　$=d$

　　$=gcd(x,y)$

证毕。