均值不等式

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均值不等式这一素材是高中数学中少见的几个需要同时验证成立的多条件素材。
已知两个正数ab,则有(当且仅当a=b 时取到等号)

21a+1b=2aba+baba+b2a2+b22


【注意】均值不等式的使用 前提条件: 正、定、等同时成立。

均值不等式中还有一个需要注意的地方:abR

如已知向量的内积a b =1 , 则有人这样做a+b2ab=2,这是错的,因为ab不是实数,而是向量。

其次应该掌握的使用技巧:
A、a+b2ab(要注意理解ab的内涵)如 ab可以是数字,可以代数式,如单项式、多项式;整式、分式、指数式、对数式、三角式等等

(x+2xx>0

2x+x2x>0

2x+2y22x+y

logab+logba(logab>0)sinx+1sinx(sinx>0)

看了以上这么多的式子,你能想到用一个式子统一刻画吗?仔细想想,再看看是不是能用a+b2ab(ab>0)来表示!
B、直接使用型:

形如这样的x+kxk>0)

C、变形后使用型:

①负化正, (y=x+2x(x<0)

②拆添项, y=x+2x1(x>1)

③凑系数, 2x+3y=4, 求xy的最大值xy=6xy6=(2x)(3y)616 \Big(\cfrac{2x+3y}{2}\Big)^2)

【引例1】已知x>1,求f(x)=x+1x1的最小值。

【引例2】已知a>1b>0a+b=4,求1a1+4b的最小值。a+b=4(a1)+b=3

【引例3】已知(a>1,b>2, a+b=4),求(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b-2})的最小值。((a+b=4\Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1))

【引例4】已知a>0b>01a+1b=1,求1a1+9b1的最小值。b=aa1代入,变成关于 a 的一元,变量集中

④限定条件下的最值(常数代换,乘常数再除常数),如已知2a+3b=2a>0b>0,求3a+2b的最小值。

3a+2b=12(2a+3b(3a+2b)=12(6+6+4ab+9ba)=

⑤构造ax+bx型,(此处应该联系分离常数方法,和化为部分分式的变形技巧以及对勾函数或叫耐克函数)

比如,形如ax2+bx+cdx+e(abcde) ax+bx型(分子上使用均值不等式)

dx+eax2+bx+c(abcde) 1ax+bx型(分母上使用均值不等式)

6、均值不等式失效时,需要用到对勾函数的单调性。

D、代数式中同时有a+bab

比如已知abR+a+bab+3=0,

1、求ab的范围;

解:3+ab=a+b2ab

ab2ab30

(ab+1)(ab3)0

ab1ab3

abR+,故 ab3 (当且仅当a=b=3取到等号)

ab9

【评析】两元a+bab变化集中为一元ab

2、求a+b的范围;

解:a+b+3=ab(a+b2)2,令t=a+b

t24t120

t2t6

a+b6 (当且仅当a=b=3取到等号)

【评析】两元a+bab变化集中为一元a+b

【典例】已知实数abc满足a+b+c=9ab+bc+ac=24,则b的取值范围是[1,5].(变量集中)

解:由于ab+bc+ac=(a+c)b+ac=24

ac=24(a+c)b(a+c2)2

24(a+c)b(a+c2)2,(三元变成了两个元a+cb)

又因为a+c=9b

24(9b)b(9b)24,(两元a+cb变成了一元b)

b26b+50

解得1b5

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