均值不等式
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均值不等式这一素材是高中数学中少见的几个需要同时验证成立的多条件素材。
已知两个正数
【注意】均值不等式的使用 前提条件: 正、定、等同时成立。
均值不等式中还有一个需要注意的地方:
如已知向量的内积
其次应该掌握的使用技巧:
A、
看了以上这么多的式子,你能想到用一个式子统一刻画吗?仔细想想,再看看是不是能用
B、直接使用型:
形如这样的
C、变形后使用型:
①负化正,
②拆添项,
③凑系数,
【引例1】已知
【引例2】已知
【引例3】已知(a>1,b>2, a+b=4),求(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b-2})的最小值。((a+b=4\Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1))
【引例4】已知
④限定条件下的最值(常数代换,乘常数再除常数),如已知
⑤构造
比如,形如
形
6、均值不等式失效时,需要用到对勾函数的单调性。
D、代数式中同时有
比如已知
1、求
解:
又
故
【评析】两元
2、求
解:
故
【评析】两元
【典例】已知实数
解:由于
故
故
又因为
即
即
解得
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