洛谷 P2467 [SDOI2010]地精部落
题目描述
传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。
地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为N的山脉H可分为从左到右的N段，每段有一个独一无二的高度Hi，其中Hi是1到N之间的正整数。
如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。
类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。
地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。
地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。
地精们希望这N段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。
现在你希望知道，长度为N的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A和B不同当且仅当存在一个i，使得Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。
输入输出格式
输入格式：
输入文件goblin.in仅含一行，两个正整数N, P。
输出格式：
输出文件goblin.out仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。
输入输出样例
4 7
3
说明
说明：共有10种可能的山脉，它们是：
1324 1423 2143 2314 2413
3142 3241 3412 4132 4231
其中加下划线的数位表示可以设立瞭望台的山峰，其他表示可以设立酒馆的山谷。
【数据规模和约定】
对于20%的数据，满足N≤10；
对于40%的数据，满足N≤18；
对于70%的数据，满足N≤550；
对于100%的数据，满足3≤N≤4200，P≤10^9。
题意概括：1~n的抖动排列数量对P取模后的结果
好迷啊，抖动排列上次出现在OI里好像是NOIP2013的那个什么花匠？然而那个是个愚蠢的DP题
虽然这也是DP计数就是了
简单写几个例子就发现，除了n=1以外答案好像都是偶数，而且答案是两两对应的
比如 1 3 2 5 4 这个5排列，如果我们用6去减掉各个位置上的数，会变成5 3 4 1 2，上升和下降的关系都取反，但仍然合法
那我们设
f[i][j]表示1~i的排列，第一个元素是j，并且一开始是下降的（第一个比第二个大），有多少个是合法的
g[i][j]表示1~i的排列，第一个元素是j，并且一开始是上升的（第一个比第二个小），有多少个是合法的
显然每一个f都可以通过上面的变换变成一个g，并且是f[i][j]变成g[i][i+1-j]（如果本来开头是j的话，变过来以后开头就是i-j+1了）
而且g也可以变成f，也是g[i][j]变成f[i][i+1-j]
然后就可以开始转移了
考虑f[i][j]，如果j-1不是第二个元素，那就是f[i][j-1]，因为由于开始是下降的，以j-1开始的排列，第二个肯定不是j，那么在这里j和j-1的地位是相等的，互换他们两个不会影响答案
如果j-1是第二个元素，那就是g[i-1][j-1]咯，由于刚才求出的对称性，g[i-1][j-1] = f[i-1][(i-1+1)-(j-1)] = f[i-1][i-j+1]
所以f[i][j] = f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1]，再加个滚动数组即可
最终的答案是 $2*\sum_{i}f[n][i] $
1 #include <iostream> 2 #include <cstdlib> 3 #include <cstdio> 4 #include <algorithm> 5 #include <string> 6 #include <cstring> 7 #include <cmath> 8 #include <map> 9 #include <stack> 10 #include <set> 11 #include <vector> 12 #include <queue> 13 #include <time.h> 14 #define eps 1e-7 15 #define INF 0x3f3f3f3f 16 #define MOD 1000000007 17 #define rep0(j,n) for(int j=0;j<n;++j) 18 #define rep1(j,n) for(int j=1;j<=n;++j) 19 #define pb push_back 20 #define mp make_pair 21 #define set0(n) memset(n,0,sizeof(n)) 22 #define ll long long 23 #define ull unsigned long long 24 #define iter(i,v) for(edge *i=head[v];i;i=i->nxt) 25 #define max(a,b) (a>b?a:b) 26 #define min(a,b) (a<b?a:b) 27 #define print_runtime printf("Running time:%.3lfs\n",double(clock())/1000.0) 28 #define TO(j) printf(#j": %d\n",j); 29 //#define OJ 30 using namespace std; 31 const int MAXINT = 100010; 32 const int MAXNODE = 4210; 33 const int MAXEDGE = 2 * MAXNODE; 34 char BUF, *buf; 35 int read() { 36 char c = getchar(); int f = 1, x = 0; 37 while (!isdigit(c)) { if (c == '-') f = -1; c = getchar(); } 38 while (isdigit(c)) { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); } 39 return f * x; 40 } 41 char get_ch() { 42 char c = getchar(); 43 while (!isalpha(c)) c = getchar(); 44 return c; 45 } 46 //------------------- Head Files ----------------------// 47 48 ll dp[2][MAXINT], n, P; 49 void get_input(); 50 void work(); 51 int main() { 52 get_input(); 53 work(); 54 return 0; 55 } 56 void work() { 57 if (n == 1) { printf("1\n"); return; } 58 if (n == 2) { printf("2\n"); return; } 59 dp[0][1] = 0; //this is dp[2][1] 60 dp[0][2] = 1; //this is dp[2][2] 61 for (int i = 3; i <= n; i++) { 62 int p = 1 & i; 63 rep1(j, i) { 64 dp[p][j] = (dp[p][j - 1] + dp[p ^ 1][i - j + 1]) % P; 65 } 66 } 67 ll ans = 0; 68 rep1(i, n) ans = ans + dp[n & 1][i]; 69 printf("%lld\n", ans * 2 % P); 70 } 71 void get_input() { 72 n = read(); P = read(); 73 }
