SG函数博弈

SG函数博弈

0x00 一些规定

• 游戏必须是对称的且双方都取最优策略
• 规定最后一个进行操作的玩家为负
• A,B：游戏的双方，我们假设A总是刚操作完的一个，即现在轮到B操作，B处于某个状态
• 终止状态：一旦达到这个状态，游戏就无法进行下去
• P状态： 必败状态，如果A接下来的操作没问题，B不可能赢
• N状态： 必胜状态，如果B接下来的操作没问题，A不可能赢

0x01 一些很显然的定理

• 所有终止状态都是P状态
• 所有一步能走到P状态的状态都是N状态
• 所有下一步只能走到N状态的状态都是P状态
• 自己想一下就发现很显然了

0x02 一个很经典的例子

NIM游戏
有N堆石子，每次操作可以在某一堆里取任意个，双方轮流取，不能取为负

• 把N堆石子的数量异或起来，如果异或和为0，那么先手必败，否则先手必胜
• 为什么？我们考虑两种状态

1. 所有的石子异或和不为0
2. 所有的石子异或和为0

• 显然最后的终止状态属于状态2，即所有堆里都是0
• 如果现在位于状态2，下一步只能走到状态1
• 如果现在位于状态1，下一步一定能走到状态2（请手推一下为什么）
• 那么，状态1就是N状态，2就是P状态，终止状态也是P状态，很对

0x03 SG函数

• 如果我们把状态抽象成点，那么整个游戏的状态转移构成一张DAG
• 游戏双方轮流在图上移动，移动到一个没有出度的状态时游戏结束
• 不能移动的玩家输掉游戏
• 因为是DAG，所以游戏总是会结束
• 定义一个状态X，它所有能转移到的状态集合为F(X)
• 定义一种运算mex(Y)，表示Y这个集合在自然数集合中的补集中最小的元素
• 比如Y = {0,2,3,5}，则它的补集是{1,4,6,7....}，mex(Y) = 1
• 定义一个Sprague-Grundy函数（SG函数），其表达式如下
• SG(X) = mex
• 就是，一个状态所有的转移的SG函数值构成的集合的mex
• 终止状态的SG函数显然为0
• 然后我们发现，我们定义的P状态的SG函数都等于0，N状态的SG函数都大于0
• 回想我们的定义，P状态只能走到N状态（SG函数等于0，表示没有到P状态的转移）
• N状态总能走到P状态（SG函数不为0，有到P状态的转移）
• 并且所有终止状态都是P状态

0x04 组合博弈

• 如果一起玩很多组游戏呢
• 一个定理：整个游戏的SG函数就是各个部分的异或和
• 至于怎么证明我不知道

0x05 一些例题

• HDU上的NIM系列咯
• 然而可能需要一定的英文水平，不然会看不懂题