学习笔记 威佐夫博弈
威佐夫博弈
有两堆石子，两个顶尖聪明的人在玩游戏，
每次每个人可以从任意一堆石子中取任意多的石子
或者从两堆石子中取同样多的石子，不能取得人输
分析谁会获得胜利
不想听的的话直接看结论
与前两种博弈不同的是 不可以将两堆石子 分开计算
所以类似需要一个扩展的二维SG
我们定义先手必输的局势就是奇异局势
第一个奇异局势就是\((0,0)\)
\((x,y)=(y,x)\)等价
考虑递推的思想
从直角坐标系考虑$ (0,0)$是奇异局势
那么\((0,k),(k,0),(k,k)\)都是非奇异局势 把TA们划去
再去寻找第一个没有被划过的点 $ (1,2)(2,1) $
同理处理出\((3,5),(4,7),(6,10)\)
通过大眼观察法 我们find
对于第k个奇异局势$(a_k,b_k)(a_k<b_k) $
1.\(a_k\)是之前未出现的最小自然数
2.\(b_k=a_k+k\)
根据我们需找奇异局势的方法 可以证明定理1
使用GH的数学归纳法证明定理2
假定\((a_k,a_k+k)\)是第k个奇异局势
仅需证明\((a_{k+1},a_{k+1}+k+1)\) 第\((k+1)\)个奇异局势
\((a_{k+1},a_{k+1}+k+1)\)
1.左边取一点
因为\(a_i<a_{k+1}(i<k+1) a_i\)之前已经出现过
所以左边少了那就把右边拿成对应的情况
2.右边取一点
取得比较少的时候 两队之间差值减小 成为\((a_{k+1},a_{k+1}+m)\)
那么我们就拿成\((a_m,a_m+m)\)
取得比较多的时候 右边<左边
那么右边就是之前出现过的一个\(a_i(i<(k+1))\)
又因为\(a_i+i=b_i<a_{k+1}\) 所以可行
那么左边取成类似的情况
3.两边同时取
\(a_m,a_m+k+1\)因为\((k+1)>m\) 所以取成$(a_m,a_m+m) $
如上我们可以发现
任意情况下奇异局势都会成为非奇异局势
非奇异局势总是能够成为奇异局势
所以
奇异局势对应必败态
非奇异局势对应必胜态
那么我们仅需要计算出当前
\((x,y)(x<y) x\)所位于第几个奇异局势
这需要运用到Beatty数列和Beatty定理 不加详述
\(a_k=\frac {\sqrt{5}+1}{2}*k\)
$b_k=a_k+k $
有兴趣者自行查看
