CDQ分治学习笔记

CDQ 分治是一种离线的分治思想，可以用来处理以下问题：

• 解决和点对有关的问题。
• 1D 动态规划的优化与转移。
• 通过 CDQ 分治，将一些动态问题转化为静态问题。
  （摘自 oiwiki）

解决和点对有关的问题

算法流程如下:
要解决 $[l,r]$ 的问题，先将 $[l,mid],[mid+1,r]$ 的问题解决，再解决整个区间的问题，所以不严格得讲，分治求平面最近点对、归并排序都是 CDQ 分治的思想(但是 CDQ 分治一般会套上数据结构)。

例：三维偏序#

我们要求 $[1,n]$ 中的点对 $(i,j)$，先分治，解决 $[1,mid],[mid+1,n]$ 的子问题，再考虑 $l\le i\le mid,mid+1\le j\le r$ 的点对，我们先在一开始让数组按 $a_i$ 升序排序，保证 $\mathrm{\forall }l\le i\le mid<j\le r,a_j\ge a_i$,然后再左右分别按 $b_i$ 升序排序，这是为了方便我们双指针找到所有满足 $b_i\le b_j$ 的 $i$，接下来就不用多说了，用树状数组把 $c_i$ 存起来然后计算即可。

Code

注意：cmp1 不仅要按 $a_i$ 排，还要在 $a_i$ 相同时按 $b_i,c_i$ 排，否则可能会让满足条件的点对 $(i,j)$ $i$ 在右边而统计不到, cmp2 则不用（但建议还是写一下）

例2：[CQOI2011] 动态逆序对#

记 $t_i$ 为 $i$ 被删除的时间，如果没有被删除则 $t_i=+\mathrm{\infty }$，然后考虑一个点 $i$ 删除前后，删除后少去了其本身当前的贡献，也就是点对 $(i,j)$ 满足 $t_i>t_j\wedge ((i<j\wedge va{l}_i>va{l}_j)\vee (i>j\wedge va{l}_i<va{l}_j))$，这就转化成了一个三维偏序问题。

Code

优化动态规划的转移

其实和点对之间的关系的处理是同理的，但是要注意的是，处理跨越区间 ($i<mid<j$)的问题时，要按照正确的 dp 转移顺序来。例如，我们有一个二维的 LIS 问题，转移方程为：
$d{p}_i=\underset{j=1}{\overset{i-1}{max}}[a_j<a_i\wedge b_j<b_i]d{p}_j$
这里我们之间一个 cdq 分治上去，树状数组维护前缀最大值就能优化到 $O(n{\log }^{2}n)$, 但是中间的处理部分必须要放在 cdq(l, mid) 和 cdq(mid+1, r) 之间,因为在转移 $i$ 的时候要求 $j<i$ 的 $d{p}_j$ 都被处理完了。如果 $l=r$, 则说明 $d{p}_l$ 处理完毕了，直接 return 即可。

例：[SDOI2011] 拦截导弹#

如上，第一问跑一个二维最长非升子序列即可，但是第二问，我们需要求出存在 $i$ 的最长非升子序列个数，除以总个数，这里有个 trick，只要求出以 $i$ 结尾、开头的最长非升子序列个数，再相乘即可（如果两者拼起来的长度为全局最长长度的话），那么目标明确，两边 $CDQ$ 就行，细节有点多，可以慢慢理解下代码。

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将动态问题转化为静态问题

这里，CDQ 分治折半的是 时间序列，也可以说是操作（修改和询问）顺序序列，常用于解决 修改 xxx 询问 xxx 的问题，但是这是个离线算法，我们要先把所有修改、询问存下来，这样操作本身就按时间排好序了，这时，每个修改都会影响到后面的询问，这样的点对共有 O(n^2) 对。称为一个修改-询问关系，下面我们用 $i$ 来表示第 $i$ 次操作。
接下来思路便明了了，我们在解决 $(l,r)$ 中所有修改和询问问题时，先处理 $(l,mid),(mid+1,r)$ 之间的关系，再处理 $(i,j)(l\le i\le mid\le j\le r)$ 的关系，其中 $i$ 是一个修改，$j$ 是一个询问。

有一点要注意的是，如果修改之间相互 $\mathrm{独}\mathrm{立}$, 比如区间加减什么的，这时候我们随便什么时候处理